Wachstums- und Zerfallsprozesse: Unterschied zwischen den Versionen

Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$

Definition und Verwendung

Graph einer linearen Zunahme

Graph einer linearen Abnahme

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert $k$ wächst. Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann: $$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

• Ist $k>0$, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
• Ist $k<0$, so handelt es sich um eine lineare Abnahme

Musterbeispiel:

Übungsaufgaben

• Wassertonne

Wassertonne (Lösung)

• $Bifie$ : Tauchen

Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$

Definition und Verwendung

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Faktor $a>1$ wächst. Wie bei den Exponentialfunktionen gibt es auch hier zwei Formeln:

Graph einer exponentiellen Zunahme

Verdoppelungszeit

Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des exponentiellen Wachstums folgt). Aus diesem Grund definiert man die:

1. Musterbeispiel: Berechnung der Verdoppelungszeit bei bekannter Anfangsmenge

Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$

Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um $6.5 \%$ p. a. (d. h. $6.5 \%$-ige Verzinsung pro Jahr).

• a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn $100€$ auf dem Sparbuch liegen.
• b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d. h. berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
• c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von $350€$ an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.

Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

Lösung

a) $N_0=100$; $a=(1+\frac{6.5}{100})=1.065 \ \ \rightarrow$ $\underline{\underline{N(t)=100\cdot 1.065^t}}$

b)

• $N_0=100$
• $a=1.065$
• $N(t)=200$
• $t=$?

Bestimmung der Verdoppelungszeit

$$200=100\cdot 1.065^t$$ $$2=1.065^t |\log$$ $$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$ $$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$ $$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c) Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit $11.01$ Jahre, da sich hier das Anfangskapital von $350€$ auf $700€$ verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

Merke:

Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt. Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)

Mehrfache Verdoppelung eines exponentiellen Wachstums

Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

Lineares Wachstum	Exponentielles Wachstum
Addition um eine konstante Zahl	Multiplikation um einen konstanten Faktor
immer $+k$	immer $\cdot a$
Graph ist eine Gerade	Graph ist eine exponentielle Kurve
wächst immer um dieselbe konstante Zahl $k$	wächst immer schneller
Graph einer linearen Zunahme	Graph einer exponentiellen Zunahme

Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$

Definition:

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

Graph einer exponentiellen Abnahme

Halbwertszeit

Eine besondere Eigenschaft der exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum). Aus diesem Grund definiert man die:

Merke: $\ \ \ \ \ \ $

Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt. Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$.

Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, unabhängig davon wie groß dieser ist.

Übungsaufgaben

Weitere Übungsaufgaben (klicke hier) und die dazugehörenden Lösungen (klicke hier).

In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ verwendet. Das Vorgehen mit der Darstellungsform zur Basis $e$ mit $f(x)=c\cdot e^{ \pm \lambda x} $ funktioniert auf die selbe Weise.

Merke

Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufstellen, gehe so vor: Möglichkeit 1: Direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie den Änderungsfaktor $a$ heraus und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. Möglichkeit 2: Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $f(x):=c\cdot a^x$ in CAS, gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit Löse({Gl1,Gl2},{a,c}) und ≈.

Achtung: $a$ muss immer eine positive Zahl sein! Mit dem Shortcut $x\color{red}{≈}$ kommt oft nur die negative Lösung für $a$ heraus.

WH:

• Der Punkt $(2|50)$ wird in GeoGebra CAS zur Gleichung $f(2)=50$. GeoGebra setzt dies dann in die allgemeine Funktionsgleichung ein und gibt in der Ausgabe der Zeile $c\cdot a^2=50$ an.
• Eine ausführliche Wiederholung findest du hier: Wiederholung

Aufgabe: Begründe, warum man zwei Punkte benötigt, um die Exponentialfunktion aufzustellen.

Aufgabe: Überlege, welche andere Funktion mit zwei Infos aufgtestellt werden kann.

Übungsbeispiel: Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel W-Lan b1)

Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion $d$.

$d(x)=c\cdot a^x $

$x$... Entfernung in m $d(x)$... Datenübertragungsrate in einer Entfernung $x$ in Mbit/s

Sie ermittelt folgende Messwerte:

Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$ der Exponentialfunktion $d$.

Lösung:

$c≈772,22605 $ und $a≈0,91674$

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

Merke

Sonderfall bei Möglichkeit 2: Bei einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ kannst du den Änderungsfaktor $a$ auch unabhängig vom Anfangswert $c$ herausfinden. Dazu brauchst du nur eine Information. Dafür gibt es mehrere Wege: Weg 1: In GeoGebra CAS - Definiere die allgemeine Funktionsgleichung und setze gleich für den Anfangswert $c=1$ ein ($1 \mathrel{\hat=} 100 %$) z.B. $f(x):=1\cdot a^x$ in CAS, gib die Info (z.B. ein Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit Löse(Gl1,a) und ≈ oder dem Shortcut $x\color{red}{≈}$. - Definiere die allgemeine Funktionsgleichung, gib die Info als Gleichung ein und löse sie mit Löse(Gl1,a). Achtung: Hier funktioniert der Shortcut nicht! Weg 2: Verwende das geometrische Mittel.

WH: geometrisches Mittel $a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $

Übungsbeispiel: Sonderfall Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel Leuchtdioden c1)

Ein Maß für die Helligkeit einer Lichtquelle ist der sogenannte Lichtstrom. Dieser wird in der Einheit Lumen angegeben. Man geht davon aus, dass der maximale Lichtstrom von LEDs durch technische Weiterentwicklung exponentiell ansteigen wird. Dabei gilt: Alle 10 Jahre steigt der maximale Lichtstrom von LEDs auf das 20-Fache. Diese Entwicklung kann durch eine Exponentialfunktion $L$ modelliert werden.
$L(t)=L_0 \cdot a^t $

$t$... Zeit in Jahren
$L(t)$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t$ in Lumen
$L_0$... maximaler Lichtstrim zur Zeit $t=0$ in Lumen
$a$... positiver Parameter

Berechnen Sie den Parameter $a$.

Lösung:

$a≈1,34928$

Mit GeoGebra-CAS: Die negative Lösung für $a$ ist im Kontext eines Änderungsfaktors nicht sinnvoll!

oder

Mit dem geometrischen Mittel:

$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} = \sqrt[10]{20} ≈1,34928 $

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

Weitere Beispiele

Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

Matura-Beispiele

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

• Pilze* d1)
  
• Nachhaltige Entwicklungsziele* c1)
  
• Kunststiff* b2)
  
• Weltbevölkerung* a1)
  
• Käse* a1)
  
• Raucherentwöhnung* b1)
  
• Sonnenblumen* b1)
  
• Obst* c1)
  
• Winterdienst* c1)
  
• Desinfektion* a1)
  
• Sonnenlicht und Vitamin D* b1)
  
• Streaming* a1)
  
• Sozialausgaben (1)* b1)
  

Vermischte Beispiele

• Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen (Lösungen enthalten)

• Weitere Aufgaben (S. Riedmann)

... und hier die Lösungen

• $Bifie$ : Schiunfälle (bifie-Aufgabe: leicht)

siehe auch Beschreibende Statistik

• $Bifie$ : Neuronen in der Großhirnrinde (bifie-Aufgabe: leicht)

• $Bifie$ : PKW-Bestand (leicht)

• $Bifie$ : Alkoholspiegel (leicht-leicht-mittel-mittel)

• $Bifie$ : Wirkame Substanz eines Medikamentes (bifie-Aufgabe: mittel)

• $Bifie$ : Tauchen (bifie-Aufgabe)

Siehe auch: Gleichungen aufstellen und Äquivalenzumformungen

• $Bifie$ : Taschengeld (bifie-Aufgabe)

• $Bifie$ : Luftdruck1 (bifie-Aufgabe)

• $Bifie$ : Bevölkerung (bifie-Aufgabe)

• $Bifie$ : Holzbestand und Waldfläche (bifie-Aufgabe)

• $Bifie$ : Hefeteig (bifie-Aufgabe)

  siehe auch Lineare Funktionen

• $Bifie$ : Altersbestimmung (bifie-Aufgabe)

• $Bifie$ : Kleintransporter (bifie-Aufgabe)

• $Bifie$ : Radausflug (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)

Siehe auch

* Beschreibende Statistik

* Trigonometrie

• $Bifie$ : Bevölkerungswachstum in den USA (leicht-leicht-mittel)

Siehe für Aufgabe b) und c) auch Differenzen- und Differentialquotient

Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

Aufgabe: Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!

• Abkühlung eines Tees
• Erwärmung von Schokoladeneis
• Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
• Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme

Funktionsgleichung

In der Formelsammlung findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum.

Definition

Es gilt: $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen) $0<a<1$ $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ Das beschränkte Wachstum wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. Die beschränkte Abnahme wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $.

Graph

beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)

beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)

Aufgabe: Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst.

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke auf diesen Link .

Merke

$N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.

Aufgabe: Versuche es selbst in GeoGebra:

1. Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
2. Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
3. Gib im CAS-Fenster den Befehl Schnittpunkt( Funktion, Funktion) ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
4. Gib im Algebra-Fenster den Befehl Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert) ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.

- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

• Weltbevölkerung* c1)
  Begründung zur Asymptote
• Videoplattform* c1)
  Anfangswert und Schranke einzeichnen
• Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)
  zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
• Küchengerät* a1)
  zum Anfangswert argumentieren
• Trinkflaschen* c2)
  Anfangswert angeben

Funktionsgleichung aufstellen

Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: Wiederholung

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

Merke

Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.

Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

• Videoplattform* a1)
  ein Parameter ermitteln
• Online-Shopping* b1)
  ein Parameter ermitteln
• Küchengerät* a2)
  ein Parameter ermitteln
• Thermometer* b)
  zwei Parameter ermitteln
• Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)
  zwei Parameter ermitteln

Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

Aufgabe: Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!

• Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
• Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
• Entwicklung der Weltbevölkerung
• Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
• Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

logistisches Wachstum

Funktionsgleichung

asdf

Graph

asdf

Matura-Beispiele zur Schranke

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

• Kraftfahrzeug-Bestand* b2)
  

Funktionsgleichung aufstellen

asdf

Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

Eigenständige Suche im Aufgabenpool

Öffne die Seite des Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP).

Mit dem Deskriptor B_W_3.5 kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?

Zudem kannst du mit dem Schlagwort Exponentialgleichungen nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?

Spezifische Aufgaben

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

• Videoplattform* a) :
  Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
• Videoplattform* b2)
  mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
• Videoplattform* c)
  Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
• Schilf* c)
  Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
• Kraftfahrzeug-Bestand* b)
  mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
• Online-Shopping* b1)
  Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
• Trinkflaschen* c2)
  mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
• Küchengerät a1)+a2)
  mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
• Thermometer* b)
  Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
• Öffentlicher Verkehr in Wien* b)
  mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
• Pilze* b)
  mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
• Grafikkarte* b)
  mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
• Thermosflasche* b)
  Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
• Speiseeis (2)* b)
  mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen