Wachstums- und Zerfallsprozesse: Unterschied zwischen den Versionen

a) $N_0=100$; $a=(1+\frac{6.5}{100})=1.065 \ \ \rightarrow$ $\underline{\underline{N(t)=100\cdot 1.065^t}}$

b)

• $N_0=100$
• $a=1.065$
• $N(t)=200$
• $t=$?

Bestimmung der Verdoppelungszeit

$$200=100\cdot 1.065^t$$ $$2=1.065^t |\log$$ $$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$ $$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$ $$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c) Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit $11.01$ Jahre, da sich hier das Anfangskapital von $350€$ auf $700€$ verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14 \%$ Wachstum pro Stunde.

b) Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d. h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir: $$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$ $$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$ $$ 2=1.14^t \ \ \ |\log ( \ )$$ Wichtig: In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$ ist. Dies kam auch schon im 1. Musterbeispiel vor. $$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$ $$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$ $$\underline{\underline{t=5.29}}$$ A: Die Verdoppelungszeit beträgt $5.29$ Stunden.

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein: $$N(t)=N_0\cdot a^t$$ $$N(17)=N_0\cdot a^{17}$$ $$2\cdot N_0=N_0\cdot a^{17} \ \ \ |:N_0$$ $$2=a^{17} \ \ \ |\sqrt[17]{\ \ \ }$$ $$\sqrt[17]{2}=a$$ $$\underline{\underline{a=1.0416}}$$ A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt $1.0416$, womit pro Tag $4.16 \%$ dazu kommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach $17$ Tagen zu einer Verdoppelung gekommen ist. Da sich das exponentielle Wachstum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:

• nach $2\cdot 17=34$ Tagen kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
• Nach $3\cdot 17=51$ Tagen kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)

Somit dauert es $51$ Tage. Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

1. Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um $5 \%$ zu: exponentiell mit $a=1.05$
2. Der Meeresspiegel steigt jährlich um $4 cm$: linear mit $k=4 cm$
3. Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor $1.2$: exponentiell mit $a=1.2$
4. Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um $1 cm$ dicker: linear mit $k=1 cm$
5. Ein Kapital wird jährlich mit $3 \%$ p. a. verzinst. exponentiell mit $a=1.03$
6. Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um $12 \%$: exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme

a) $a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b) Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein, erhält man: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$ $$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$ $$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$ $$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$ $$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$ $$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwertszeit beträgt ca. $17$ Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann $\lambda$ bestimmt werden: $$0.96=e^{-\lambda}$$ $$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$ $$-\ln 0.96=\lambda$$ $$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesetz in der $e^{-\lambda}$-Form: $$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d) Gefragt ist, wann $$N(t)=1 \textrm{% von }N_0$$ ist. Formulieren wir dies noch "mathematischer", so erhalten wir: $$N(t)=0.01\cdot N_0$$ Setzen wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formel man nimmt), so erhält man: $$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$ $$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$ $$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$ $$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$ $$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$ $$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als $112$ Stunden sind $99 \%$ der Anfangsmenge zerfallen.