Differenzengleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

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Der Anfangswert der Zahlenfolge ist $4$. Jedes weitere Folgeglied ist um $2$ kleiner als das vorige. Somit erhalten wir $y_1$ indem wir vom Anfangswert $2$ abziehen, es gilt:
 
Der Anfangswert der Zahlenfolge ist $4$. Jedes weitere Folgeglied ist um $2$ kleiner als das vorige. Somit erhalten wir $y_1$ indem wir vom Anfangswert $2$ abziehen, es gilt:
 
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Das 2. Folgeglied $y_2$ erhalten wir nun, indem wir vom aktuellen Folgeglied $y_1$ erneut $2$ abziehen.<br>
  
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Analog resultiert für das 3. Folgeglied $\pmb{$y_3=-2$}$.
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Analog resultiert für das 3. Folgeglied $\pmb{y_3=-2}$.
 
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Version vom 5. August 2019, 17:40 Uhr


Einleitung

Differenzengleichungen ermöglichen es, praktische Fragestellungen aus der Finanzmathematik (Zinseszins-, Renten- und Tilgungsrechnung), der Populationsdynamik (Entwicklung einer Population) sowie aus vielen weiteren wissenschaftlichen Disziplinen der Wirtschaft, Medizin, Technik usw. mathematisch zu beschreiben.

Bei einer Differenzengleichung (auch Rekursionsgleichung genannt) handelt es sich um eine rekursive Folge, also um eine Aufzählung von Zahlen. Besteht eine Folge aus den Zahlen $x_0, x_1, x_2, x_3, …$ , so heißen diese Zahlen „Glieder der Folge“, wobei $x_0$ das 0. Folgeglied (= Anfangswert), $x_1$ das 1. Folgeglied usw. bezeichnet.
Rekursiv bedeutet, dass man unter Kenntnis eines Folgeglieds immer das nächste Folgeglied ermitteln kann.


Bsp.png

Es gelte $y_0=4$ und $y_{n+1}=y_n-2$. Ermitteln Sie $y_n$ für $n=1, 2, 3$.

$y_0$ … Anfangs- bzw. Startwert (erste Zahl der Zahlenfolge)
$\hspace{2.1cm} y_n$ … Wert nach $n$ Einheiten ($n$-tes Folgeglied)
$\hspace{2.1cm} y_{n+1}$ … Wert nach $(n+1)$ Einheiten ($(n+1)$-tes Folgeglied bzw. Nachfolger von $y_n$)

Anmerkungen: Anstelle der Schreibweise $y_0, y_n$ bzw. $y_{n+1}$ wird auch häufig die Form $y(0), y(n)$ bzw. $y(n+1)$ verwendet. Beachte, dass $n$ immer nur eine natürliche Zahl sein kann (d. h. $n=0, 1, 2, 3, …$). Denn es macht keinen Sinn das $-1$-te Folgeglied oder etwa das $1.5$-te Folgeglied zu berechnen.

Lösung:

Der Anfangswert der Zahlenfolge ist $4$. Jedes weitere Folgeglied ist um $2$ kleiner als das vorige. Somit erhalten wir $y_1$ indem wir vom Anfangswert $2$ abziehen, es gilt:
$\pmb{y_1}=y_0-2 \Rightarrow y_1=4-2=\pmb{2}$
Das 2. Folgeglied $y_2$ erhalten wir nun, indem wir vom aktuellen Folgeglied $y_1$ erneut $2$ abziehen.

$\pmb{y_2}=y_1-2\Rightarrow y_2=2-2=\pmb{0}$
Analog resultiert für das 3. Folgeglied $\pmb{y_3=-2}$.


Bsp.png

Verständnisfrage: Warum wird durch die alleinige Angabe von $y_{n+1}=y_n-2$ für alle $n\in \mathbb{N}$ keine Folge eindeutig definiert?

Lösung: Es fehlt die Anfangsbedingung, denn je nach Wahl des Anfangswertes ergibt sich eine andere Zahlenfolge. So erhalten wir für $y_0=3$ die Folge $(3, 1, -1, -3, …)$, für $y=4$ ergibt sich allerdings die Folge $(4, 2, 0, -2, …)$. Beide erfüllen die Bedingung $y_{n+1}=y_n-2$ für alle $n\in \mathbb{N}$, sind aber voneinander verschieden.


Es ist also unbedingt erforderlich, die Anfangsbedingung immer mit anzugeben.


Grundsätzlich unterscheidet man bei Differenzengleichungen zwei Grundformen:

  • Lineare Differenzengleichung (arithmetische Folge)
  • Exponentielle Differenzengleichung (geometrische Folge)

Lineare Differenzengleichung (arithmetische Folge)

Für ein lineares Wachstum ist eine konstante Zunahme in gleichen Zeitspannen charakteristisch.
Bei einer linearen Differenzengleichung wächst bzw. sinkt der angegebene Wert mit jedem Folgeglied um einen festen Betrag. Ein Beispiel dafür ist obige Folge $y_{n+1}=y_n-2$, wo der Wert stets um $2$ gesunken ist.

Definition
Grün rufezeichen.png
 Lineare Differenzengleichung (Rekursive Darstellung)

Bei linearem Wachstum bzw. linearer Abnahme gilt für einen Bestand $y_t$ nach $t$ Zeitschritten:
$ \underbrace{y_{t+1}=y_t\pm k}_{rekursive Folge} \qquad$ oder $\qquad \underbrace{y_{t+1}-y_t=\pm k}_{Differenzengleichung}$


mit konstanter Änderungsrate $k$ und Anfangsbestand $y_0$.

Anmerkung: Die Folge wurde hier mit der Variable $y$ festgelegt. Natürlich kann zur Beschreibung einer Folge jede beliebige andere Variable $a, b, h, z, …$ verwendet werden.



Bsp.png

Ein Produkt kostet $1000 €$ und wird jährlich um $40 €$ teurer. Stellen Sie eine geeignete Differenzengleichung (Rekursionsgleichung) auf, die diesen Sachverhalt modelliert.

Lösung: Zunächst benennen wir die Folge mit einer beliebigen Variablen, beispielweise mit $a$.


Beim Ausgangswert handelt es sich um die ursprünglichen Kosten des Produkts, d. h. $a_0=1000 €$. Der Betrag erhöht sich jährlich um $40 €$, sprich $k=40€$.
Es gilt somit: $a_0=1000 €\quad , \quad a_{n+1}=a_n+40$
Folglich beträgt die Differenz zwischen dem nächsten Jahr und dem aktuellen Jahr $40$, oder anders ausgedrückt $a_{n+1}-a_n=40$.

Die Aufgabe lässt sich nun auch noch grafisch darstellen: Zu Beginn kostet das Produkt $1000$. Dies entspricht dem Punkt $(0\vert 1000)$ im Koordinatensystem. Nach einem Jahr kostet das Produkt $1040 €$ ($(1\vert 1040)$), nach einem weiteren Jahr bereits $1080$ ($(2\vert 1080)$) usw. Da nun alle eingezeichneten Punkte auf einer Linie liegen, handelt es sich dabei um eine lineare Differenzengleichung.



Anmerkung: Zur besseren Veranschaulichung wurde die $y$-Achse gestaucht.


Bsp.png

In einer Regentonne befinden sich $250l$ Regenwasser. Davon werden täglich $15l$ zur Bewässerung der Pflanzen genutzt. Stellen Sie eine geeignete Differenzengleichung (Rekursionsgleichung) auf, die diesen Sachverhalt modelliert.

Lösung: Wir bezeichnen unsere Folge nun mit $b$. Analog zum vorherigen Beispiel beträgt der Anfangswert $b_0=250l$ und $k=-15$, da es sich nun um eine Abnahme handelt. Es gilt:

$b_0=250l \quad, \quad b_{n+1}=b_n-15 \quad$ bzw. $\quad b_{n+1}-b_n=-15$



Exponentielle Differenzengleichung (geometrische Folge)

Für ein exponentielles Wachstum ist eine konstante prozentuelle Zunahme in gleichen Zeitspannen charakteristisch.
Bei einer exponentiellen Differenzengleichung wächst bzw. sinkt der angegebene Wert mit jedem Folgeglied um denselben Prozentsatz bzw. um denselben relativen Anteil.

Definition
Grün rufezeichen.png
 Exponentielle Differenzengleichung (Rekursive Darstellung)

Bei exponentiellem Wachstum bzw. exponentieller Abnahme gilt für einen Bestand $y_t$ nach $t$ Zeitschritten:
$ \underbrace{y_{t+1}=a\cdot y_t}_{rekursive Folge} \qquad$ mit $\quad \frac{y_{t+1} }{y_t}=a \qquad$ oder $\qquad \underbrace{y_{t+1}-y_t=y_t\cdot (a-1) }_{Differenzengleichung}$

mit konstantem Änderungsfaktor $a$ und Anfangsbestand $y_0$.

Anmerkungen: Der Parameter $a$ in der rekursiven Folge entspricht dem Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor. Dieser lässt sich wie bei Exponentialfunktionen mithilfe des Prozentsatzes berechnen: $a=1\pm \frac{p}{100}$.
Der Ausdruck $(a-1)$ in der Differenzengleichung entspricht dem relativen Anteil, um den das Folgeglied wächst oder fällt, also $(a-1)=\pm \frac{p}{100}$.



Bsp.png

Vera zahlt $2€$ auf ihr Konto ein. Diesen Betrag verdreifacht sie jeden Monat. Stellen Sie eine geeignete Differenzengleichung (Rekursionsgleichung) auf, die diesen Sachverhalt modelliert.

Lösung: Da sich der Kontostand monatlich verdreifacht, muss dieser mit dem Faktor $3$ multipliziert werden. Dabei handelt es sich um den Wachstumsfaktor $a$ in der vorherigen Definition (analog zur Exponentialfunktion). Es gilt:


$y_0=2€ \quad , \quad y_{n+1}=y_n\cdot 3\quad$ mit $\quad \frac{y_{n+1} }{y_n}=3 \qquad$ bzw. $\qquad y_{n+1}-y_n=y_n\cdot 2$.
Der Ausdruck $y_{n+1}-y_n=y_n\cdot 2$ beschreibt den Unterschied des Kontostands von einem Monat zum darauffolgenden, beispielsweise vom 6. zum 7. Monat. Dieser beträgt immer das Doppelte des Kontostands vom Ausgangsmonat. Somit erhält man den Kontostand des 7. Monats, indem man zum Kontostand des 6. Monats erneut das Doppelte desselbigen addiert.

Grafische Veranschaulichung:


Bsp.png

In einem Waldgebiet mit $20 000$ Bäumen tritt ein Schädling auf, der jährlich $5\%$ der noch nicht geschädigten Bäume befällt. Stellen Sie eine geeignete Differenzengleichung (Rekursionsgleichung) auf, die diesen Sachverhalt modelliert.

Lösung: Da der Anfangsbestand der Bäume $20 000$ beträgt, gilt $b_0=20 000$. Mithilfe des angegebenen Prozentsatzes können wir nun den Zerfallsfaktor $a$ bestimmen:


$a=1-\frac{p}{100}=1-\frac{5}{100}=0.95$
Der Zerfallsfaktor gibt an, dass nach einem Jahr noch $95\%$ der Bäume nicht befallen sind.
Analog zu oben erhalten wir:
$b_0=20 000 \quad , \quad b_{n+1}=b_n\cdot 0.95\quad$ mit $\quad \frac{b_{n+1} }{b_n}=0.95 \qquad$ bzw. $\qquad b_{n+1}-b_n=b_n\cdot (-0.05)$.
Der Faktor $(-0.05)$ gibt an, dass die Anzahl der noch nicht geschädigten Bäume jährlich um $5\%$ abnimmt.

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