Differenzen- und Differentialquotient: Unterschied zwischen den Versionen
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'''!!Achtung!!''' Da wir im Differenzenquotient die Meter (=im Zähler) durch die Sekunden (=im Nenner) dividiert haben, erhalten wir als Einheit "Meter pro Sekunde" (m/s). | '''!!Achtung!!''' Da wir im Differenzenquotient die Meter (=im Zähler) durch die Sekunden (=im Nenner) dividiert haben, erhalten wir als Einheit "Meter pro Sekunde" (m/s). | ||
Laut Angabe sind aber km/h gefordert, somit wandeln wir noch um: | Laut Angabe sind aber km/h gefordert, somit wandeln wir noch um: | ||
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Version vom 1. Januar 2016, 12:06 Uhr
- Was lernst du hier
- Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)
- Der Differentialquotient (= momentane Steigung, f')
- Differentialquotient ist 1. Ableitung
- Graphisches Bestimmen von $f'$
- Rechnerisches Bestimmen von $f'$ - Ableitungsregeln
- Maturabeispiele
Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)
Definition
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Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$:
$$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ wird als Differenzenquotient bezeichnet. Er gibt die durchschnittliche Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(x \vert f(x))$ und $B=(f(x+\Delta x) \vert x+\Delta x )$ an (siehe Abbildung rechts). |
Bemerkungen:
- $\Delta$ (=Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für "Unterschied". $\Delta x$ ist der Unterschied auf der x-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der y-Achse.
- Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
- Der Name Differenzenquotient kommt daher, dass er aus dem Quotienten (=Division) zweier Differenzen (=Subtraktionen) entsteht:
$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
- $Aha!$ Hier findest du ein Arbeitsblatt zum Differenzenquotienten
Video-Erklärung
| Video zum Differenzenquotienten | ||
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Hinweise zum Video:
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$ | ||
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Aufgaben
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Lösungen
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Beispiele
Gegeben ist die Funktion f mit $f(x)=0.1x³ - x² + 2x$.
a) Berechnen Sie den Differenzenquotienten im Intervall [4,8]
b) Stellen Sie diesen auch graphisch in einem Koordinatensystem mit dem Graphen der Funktion f dar.
Zuerst machen wir eine Wertetabelle :
Nun setzen wir ein: $$\bar{k}_{[4,8]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(8)-f(4)}{8-4}=\frac{3.2-(-1.6)}{8-4}=\frac{4.8}{4}=\underline{\underline{1.2} }$$
b) Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante durch die beiden Punkte $(4,-1.6)$ und $(8,3.2)$.
Der zurückgelgete Weg eines anfahrenden Fahrzeuges entlang der Zeit kann mithilfe der quadratischen Funktion $s$ mit $s(t)=0.1\cdot t^2$ beschrieben werden.
$t...$ Zeit in Sekunden (s) (es gilt: $t\geq 0$)
$s(t)...$ Weg in Metern (m)
a) Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug nach 5 s zurückgelegt hat?
b) Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden das Fahrzeug 8.1 m weit gefahren ist?
c) Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen der 5. und 9. Sekunde in km/h.
$$s(t)=0.1\cdot t^2$$
$$s(5)=0.1\cdot 5^2=2.5\ m$$
A: Nach 5 Sekunden hat das Fahrzeug einen Weg von 2.5 m zurückgelegt.
b) $s(t)=8.1$ m und gesucht ist das passende $t$:
$$s(t)=0.1\cdot t^2$$
$$8.1=0.1\cdot t^2$$
$$81=t^2$$
$$\pm 9=t$$
A: Da die negative Lösung nicht infrage kommt (das Auto fährt an, somit betrachten wir nur positive Werte für die Zeit) hat das Fahrzeug nach 9 s eine Distanz von 8.1 m erreicht.
c) Die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen der 5. und 9. Sekunde entspricht der durchschnittlichen Steigung des Graphen von $s(t)$ im Intervall [5;9] (siehe Abbildung rechts).
Die durchschnittliche Steigung kann mit dem Differenzenquotienten berechnet werden: $$\bar{k}_{[5;9]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{s(9)-s(5)}{9-5}\underbrace{=}_{\textrm{siehe a) und b)} } \frac{8.1-2.5}{9-5}=\frac{5.6}{4}=1.4\textrm{ m/s}$$
!!Achtung!! Da wir im Differenzenquotient die Meter (=im Zähler) durch die Sekunden (=im Nenner) dividiert haben, erhalten wir als Einheit "Meter pro Sekunde" (m/s).
Laut Angabe sind aber km/h gefordert, somit wandeln wir noch um: $$ 1.4\ m/s \underbrace{=}_{:1000}0.0014\ km/s \underbrace{=}_{\cdot 60\ \textrm{min}\cdot 60\ \textrm{sek} }5.04\ km/h$$ (Alternativ hätten wir die 1.4 m/s einfach mit $3.6=\frac{60\cdot 60}{1000}$ multiplizieren können)
Somit hat das Fahrzeug zwischen der 5. und 9. Sekunde eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 5.04 km/h.
| Beispiel zum Differenzenquotienten |
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Weitere Beispiele finden sich: 3. Klasse-Buch: S. 41
Der Differentialquotient (= momentane Steigung, f')
Im oberen Abschnitt haben wir uns überlegt, wie wir die durchschnittliche Steigung in einem vorgegebenen Intervall bestimmen können. Dies gelang uns mithilfe des Differenzenquotienten.
Nun überlegen wir uns, wie wir die momentane Steigung an einem bestimmten Punkt berechnen können. Dies wird uns nämlich der sogenannte Differentialquotient liefern.
Definition
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Die momentane Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle x
$$ {k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$
wird als Differentialquotient bezeichnet.
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Bemerkungen:
- Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der x-Achse der beiden Punkte A und B immer näher gegen 0 gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante (blau) immer mehr der Tangente (rot) nähert.
- $Aha!$ $\ \ $ Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen
- Anstelle von $k$ wird auch $f'(x)$ geschrieben und damit gilt:
$$ {f'(x)}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$
Video-Erklärung
| Video zum Differentialquotienten |
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Hinweise zum Video:
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$ |
Aufgaben
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Lösungen
$\begin{align} f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^2+2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2)-x^2}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(2\cdot x+ \Delta x)}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2\cdot x+ \Delta x)}{1}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2\cdot x+ \underbrace{\Delta x}_{\rightarrow 0}\\ f'(x)= 2\cdot x \end{align}$
$$f'(x)=2x$$ $$f'(2)=2\cdot 2$$ $$f'(2)=4$$ Die Steigung der Funktion an der Stelle x=2 beträgt 4. |
Graphisches Bestimmen von $f'$ Differenzieren:Graphisches Bestimmen von f'
Maturabeispiele
- $Bifie$: Beleuchtungsstärke (schwer-mittel-schwer)
- Welche Inhalte brauchst du hier noch: indirekte Proportion
- $Bifie$ : Bungeejumping (leicht-mittel-mittel)
- Hier werden Ableitungsregeln benötigt!
- $Bifie$ : Leistungskurve
- Hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!
- $Bifie$ : Bevölkerung der USA (leicht-leicht-mittel)
- Siehe für Aufgabe a) auch Wachstums- und Zerfallsprozesse
- $Bifie$: Energieverbrauch beim Joggen (mittel)
- Welche Inhalte brauchst du hier noch: exponentielle Abnahme und Integration
