Differenzen- und Differentialquotient: Unterschied zwischen den Versionen
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a) Berechnen Sie den Differenzenquotienten im Intervall [4,8] | a) Berechnen Sie den Differenzenquotienten im Intervall [4,8] | ||
b) Stellen Sie diesen auch graphisch in einem Koordinatensystem mit dem Graphen der Funktion f dar. | b) Stellen Sie diesen auch graphisch in einem Koordinatensystem mit dem Graphen der Funktion f dar. | ||
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b) Der Differenzenquotient ist die '''Steigung der [[Sekante]]''' durch die beiden Punkte $(4,-1.6)$ und $(8,3.2)$. | b) Der Differenzenquotient ist die '''Steigung der [[Sekante]]''' durch die beiden Punkte $(4,-1.6)$ und $(8,3.2)$. | ||
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Version vom 29. Oktober 2014, 18:15 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Was lernst du hier
- Wie berechne ich die durschschnittliche Steigung einer Funktion mithilfe des Differenzenquotienten und der Steigung der Sekante.
- Wie berechne ich die momentane Steigung einer Funktion mithilfe des Differentialquotienten und der Steigung der Tangente.
Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)
Definition
Der Differenzenquotient berechnet die Steigung der Sekante s.
|
Die durschschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$:
$$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ wird als Differenzenquotient bezeichnet. Er gibt die durschnittliche Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(x \vert f(x))$ und $B=(f(x+\Delta x) \vert x+\Delta x )$ an (siehe Abbildung rechts). |
Bemerkungen:
- $\Delta$ (=Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für "Unterschied". $\Delta x$ ist der Unterschied auf der x-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der y-Achse.
- Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
- Der Name Differenzenquotient kommt daher, dass er aus dem Quotienten (=Division) zweier Differenzen (=Subtraktionen) entsteht:
$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
- $Aha!$ Hier findest du ein Arbeitsblatt zum Differenzenquotienten
Video-Erklärung
| Video zum Differenzenquotienten |
|---|
Hinweise zum Video:
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$ |
Aufgaben
|
Lösungen
|
Beispiele
-
! $x$ !! $f(x)$
-
$$
b) Der Differenzenquotient ist die '''Steigung der [[Sekante]]''' durch die beiden Punkte $(4,-1.6)$ und $(8,3.2)$.
[[Datei:Beispiel 1-differenzenqu.png|400px|miniatur|zentriert|Der Differenzenquotient gibt die Steigung der Sekante an. ]]
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3. Klasse-Buch: S. 41
== Der Differentialquotient (= momentane Steigung) ==
=== Definition ===
[[Datei:Differentialquotient.png|thumb|450px| Der Differentialquotient berechnet die Steigung der [[Tangente]] t.]]
{| border ="1" cellpadding="10"
|
{|
| '''Definition'''
|-
| [[Datei:Grün rufezeichen.png|center]]
|}
|Die momentane Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle x
$$ {k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$
wird als '''Differentialquotient''' bezeichnet.
Er gibt die momentane Steigung der Sekante durch den Punkte $A=(x\vert f(x))$ an.
|}
'''Bemerkungen:'''
* Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der x-Achse der beiden Punkte A und B immer näher gegen 0 gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante (blau) immer mehr der Tangente (rot) nähert.
[[Datei:Difquotuebergang.gif]]
* [[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] $\ \ $[[Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten | Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen]]
* Anstelle von $k$ wird auch $f'(x)$ geschrieben und damit gilt:
$$ {f'(x)}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$
=== Video-Erklärung === {| border ="1" align="center" !| Video zum Differentialquotienten |- | Hinweise zum Video: * Dieses Video ist die Fortsetzung des [[Differenzen- und Differentialquotient#Video-Erklärung | Videos zum Differenzenquotienten]]. * Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet. * WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit! $$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$ |- | |- |
'''Aufgaben'''
|-
|
# Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung f'(x) (=k) der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$.
# Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x=2$.
'''Lösungen'''
* 1. Bestimmen der momentanen Steigung $f'(x)$
$\begin{align}
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^2+2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2)-x^2}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(2\cdot x+ \Delta x)}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2\cdot x+ \Delta x)}{1}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2\cdot x+ \underbrace{\Delta x}_{\rightarrow 0}\\
f'(x)= 2\cdot x
\end{align}$
[[Datei:Bsp-diffquotient.png|thumb|400px|right|Graphische Lösung der Aufgabe 2]] *2. Bestimmen der momentanen Steigung bei x=2: $$f'(x)=2x$$ $$f'(2)=2\cdot 2$$ $$f'(2)=4$$ Die Steigung der Funktion an der Stelle x=2 beträgt 4.
[[Datei:Bsp-diffquotient.png|thumb|400px|right|Graphische Lösung der Aufgabe 2]] *2. Bestimmen der momentanen Steigung bei x=2: $$f'(x)=2x$$ $$f'(2)=2\cdot 2$$ $$f'(2)=4$$ Die Steigung der Funktion an der Stelle x=2 beträgt 4.
|}
Berechnung des Differentialquotienten
$\rightarrow$ siehe Artikel Ableitung bestimmen
Maturabeispiele
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