Exponentialfunktionen(3.5.): Unterschied zwischen den Versionen
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| + | $$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$ | ||
| + | $$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$ | ||
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| + | Alternative Lösungswege: | ||
| + | * Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts) | ||
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| + | * [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$ | ||
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| + | Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst). | ||
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| + | Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt. | ||
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Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$. | Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$. | ||
* a) Bestimmen Sie wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist. | * a) Bestimmen Sie wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist. | ||
Version vom 26. August 2014, 15:38 Uhr
Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite Wachstums- und Zerfallsprozesse!
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Exponentialfunktionen sind Funktionen, deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$ oder $$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$ |
Hinweise
- In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im Exponenten
- Im Term $a^x$ ist $a$ die Basis
- $e$ steht für die Eulersche Zahl
- $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen
Inhaltsverzeichnis
Graph der Exponentialfunktion
Je nach Größe der Parameter a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:
$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$
| b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch: $f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$ (mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso) |
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| a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt. | ||
| für $a>1$ oder $\lambda>0$ |
ist der Graph monoton steigend. Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph |
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| für $0<a<1$ oder $\lambda<0$ | ist der Graph monoton fallend und nähert sich immer mehr der x-Achse | 
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- $Aha!$ : In diesem Arbeitsblatt kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "b" wurde hier der Buchstabe "c" verwendet!)
- ? : Hier findest du ein Quiz, in dem du das gelernte überprüfen kannst.
Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion
- Die x-Achse ist eine Asymptote des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
- Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
- Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe Wachstums- und Zerfallsprozesse
Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.
1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach)
Angabe: Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die Parameter a und b.
Lösung:
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
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$\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.) $\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$ |
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$
2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel)
Angabe: Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die Parameter a und b.
Lösung:
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
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$\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$ $\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$ |
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Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des Einsetzungsverfahren lösen: Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei: $I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$ $\frac{4}{b}$ und setzen dies nun in II ein:
$II:\ 16=b\cdot ($ $\frac{4}{b}$ $)^2$ $$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$ $$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$ $$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$ $$II: \ b^2=1 $$ $$II: \ b=\pm 1$$ Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$
Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$
Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$
3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach)
Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die Parameter $\lambda$ und b
Lösung:
1. Punkt (0|3): Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)
2. Punkt (2|27): Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten: $$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$ $$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$ Nun wenden wir den Logarithmus an: $$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$ $$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$ $$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$ $$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$ $$\underline{1.1=\lambda}$$
Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$
- ? : Kannst du diese Aufgaben alle, so übe dich an diesem Quiz, in dem du die Funktionsgleichung verschiedener Funktionstypen bestimmen musst.
Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument
1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht)
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene Argumente für die gilt
- a) $f(x)=0.3$
- b) $f(x)=0$
- c) $f(x)=-0.5$
Lösung:
Lösung für a)
Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist: $$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$ $$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$ $$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$ $$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$ $$\underline{\underline{x = 4.74}}$$ Alternative Lösungswege:
- Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
- Solve-Befehl im TR oder Löse-Befehl mit GeoGebra
Lösung für b)
Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine Asymptote ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$ Alternativer Lösungsweg:
- Löse-Befehl mit GeoGebra $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
- Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$ $$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$ $$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$ $$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$ Da der Logarithmus nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst). Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.
Lösung für c)
Auch hier gibt es keine Lösung, da der Wertebereich der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt. (Siehe Abbildung bei Lösung a) )
2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (leicht)
Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
- a) Bestimmen Sie wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
- b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
- c) Fertigen Sie eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.
Lösung:
Lösung a) $$f(5)=100\cdot 0.76^5=6.43$$
Lösung für b) $$f(x)=50\ \ \ \ |textrm{gesucht ist x}$$ $$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$ $$0.75^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$ $$\log 0.75^x= \log 0.5$$ $$x\cdot \log 0.75=\log 0.5$$ $$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.75}$$ $$\underline{\underline{x=2.53}}$$ Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der Logarithmus verwendet.
Lösung c) Siehe Abbildung rechts
Weitere Materialien
- $Step\ by\ Step!$ : Ein Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner
- ? : Ein Quiz in dem du den Graph und die Funktionsgleichung zusammenführen musst
- ? : Und hier gibt es ein GeoGebraquiz, in dem du die Funktionsgleichung verschiedener Funktionstypen bestimmen musst.
Beispiele
- $Bifie$ : Mount Everest (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
- Siehe auch Logarithmus
