Kosten- und Preistheorie

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Preisfunktion der Nachfrage

Definition

Die Preisfunktion der Nachfrage, auch "Nachfragefunktion" oder "Preis-Absatz-Funktion" genannt, gibt den Preis p in Anhängigkeit der produzierten Menge x an.

Merke

$ $ Der Höchstpreis $p_h$ ist jener Preis, zu dem gerade kein Stück mehr verkauft werden kann. Es gilt: $$p_h=p(0)$$ Die Sättigungsmenge $x_S$ ist jene menge, bei dem der Markt gesättigt ist und damit nicht mehr mehr verkauft werden kann. Hier gilt: $$p(x_S)=0$$ Höchstpreis und Sättigungsmenge können mithilfe der Schnittpunkte bei den Achsen bestimmt werden.

Bild

Eine Firma kann von ihrem Produkt 5 Mengeneinheiten verkaufen, wenn sie den Preis auf € 3,75 pro Stück festlegt. Senkt sie den Preis auf € 2,50 pro Stück, so kann sie 10 Mengeneinheiten des Produktes verkaufen.

• Modellieren sie die lineare Preisfunktion.
• Ermitteln Sie daraus den Höchstpreis und die Sättigungsmenge.

* Zuerst stellen wir die lineare Preisfunktion der Form $p(x)=k\cdot x+d$ auf, wobei $x$ die Mengeneinheiten und $p(x)$ den Preis pro Stück angibt.

1. Variante: Wir setzen die Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ die Funktionsgleichung ein und berechnen k und d, indem wir das Gleichungssystem (hierbei eignet sich z.B. das Additionsverfahren) lösen: $$p(x)=k\cdot x+d$$

1. Punkt: $I:\ \ 3.75= k\cdot 5+d$

2. Punkt: $\underline{II:2.50=k\cdot 10+d\ \ "-"}$

$$1.25=-5\dot k\ \ \ \rightarrow k=-0.25 \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir die Preisfunktion p mit $$p(x)=-0.25x+5$$

Graphik mit den Punkten (weiter oben einfügen

2. Variante: Da es sich um eine lineare Funktion handelt, kann k auch mithilfe dem Steigungsdreieck der Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ ermittelt werden: $$k=\frac{\Delta y}{Delta x}=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{2.50-3.75}{10-5}=-0.25$$ Somit ist $k=-0.25$. Um das d nun noch zu berechnen, setzt man einen der beiden Punkte und k in die Funktionsgleichung ein: Punkt $(5\vert 3.75)$ und $k=-0.25$ in $p(x)=k\cdot x+d$ eingesetzt ergeben: $$3.75=-0.25\cdot 5+d\rightarrow 3.75+1.25=d \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir: $$p(x)=-0.25\cdot x+5$$

Graphik mit den Steigungsdreiecken

• Nun bestimmen wir mit der Preisfunktion den Höchstpreis und die Sättigungsmenge:

Höchstpreis: $p(0)=d=5$. Der Höchstpreis beträgt 5 Euro pro Mengeneinheit.

Sättigungsmenge: $p(x)=0$

$$0=-0.25x+5$$ $$-5=-0.25x$$ $$x=20$$

Die Sättigungsmenge beträgt somit 20 Mengeneinheiten.

Graphik der Preisfunktion einfügen

Erlösfunktion

Allgemein

Definition

Der Gesamterlös E (auch Umsatz genannt) ergibt sich aus dem Produkt der verkauften Menge und dem dezugehörigen Preis: $$E(x)=x\cdot p(x)$$

Gegeben ist die Preisfunktion p mit $p(x)=-0.25x+5$

• Stellen Sie die dazugehörige Erlösfunktion auf.
• Bestimmen Sie die sogenannten Erlösgrenzen, dies sind die Nullstellen der Erlösfunktion.
• Berechnen Sie den maximalen Erlös.

* Die Erlösfunktion erhalten wir mit:

$$E(x)=x\cdot p(x)$$ $$E(x)=x\cdot (-0.25x+5$$ $$E(x)=-0.25x^2+5x$$

Bild der Erlösfunktion.

• Die Nullstellen ermitteln wir, indem wir die Erlösfunktion nullsetzen:

$$0=E(x)$$ $$0=-0.25x^2+5x$$ Durch herausheben von x, Quadkom oder den Löse-Befehl erhalten wir $x_1=0$ und $x_2=20UNIQf06d625e1cb9013e-MathJax-20-QINUx_{max}=\frac{0+20}{2}=10UNIQf06d625e1cb9013e-MathJax-21-QINUE‘(x)=-0.5x+5UNIQf06d625e1cb9013e-MathJax-22-QINU0=-0.5x+5\ \ \ \rightarrow x=10UNIQf06d625e1cb9013e-MathJax-23-QINUE‘‘(x)=-0.5UNIQf06d625e1cb9013e-MathJax-24-QINU E‘‘(10)=-0.5<0 \ \ \ \rightarrow HP$$ Somit befindet sich bei $x=10$ ein Hochpunkt und der Erlös an dieser Stelle beträgt $E(10)=25$

=== Grenzerlös === Der Grenzerlös ist definiert als $E‘(x)$ und gibt die (ungefähre) Steigung des Erlöses an, wenn eine weitere Mengeneinheit produziert wird.