Differenzen- und Differentialquotient
Inhaltsverzeichnis
Was lernst du hier
- Wie berechne ich die durschschnittliche Steigung einer Funktion mithilfe des Differenzenquotienten und der Steigung der Sekante.
- Wie berechne ich die momentane Steigung einer Funktion mithilfe des Differentialquotienten und der Steigung der Tangente.
Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)
Definition
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Die durschschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$:
$$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ wird als Differenzenquotient bezeichnet. Er gibt die durschnittliche Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(x \vert f(x))$ und $B=(f(x+\Delta x) \vert x+\Delta x )$ an (siehe Abbildung rechts). |
Bemerkungen:
- $\Delta$ (=Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für "Unterschied". $\Delta x$ ist der Unterschied auf der x-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der y-Achse.
- Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
- Der Name Differenzenquotient kommt daher, dass er aus dem Quotienten (=Division) zweier Differenzen (=Subtraktionen) entsteht:
$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
- $Aha!$ Hier findest du ein Arbeitsblatt zum Differenzenquotienten
Video-Erklärung
| Video zum Differenzenquotienten |
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Hinweise zum Video:
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$ |
Aufgaben
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Lösungen
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Beispiele
Gegeben ist die Funktion f mit $f(x)=0.1x³ - x² + 2x$.
a) Berechnen Sie den Differenzenquotienten im Intervall [4,8]
b) Stellen Sie diesen auch graphisch in einem Koordinatensystem mit dem Graphen der Funktion f dar.
Zuerst machen wir eine Wertetabelle :
Nun setzen wir ein: $$\bar{k}_{[4,8]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(8)-f(4)}{8-4}=\frac{3.2-(-1.6)}{8-4}=\frac{4.8}{4}=\underline{\underline{1.2} }$$
b) Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante durch die beiden Punkte $(4,-1.6)$ und $(8,3.2)$.
Der zurückgelgete Weg eines anfahrenden Fahrzeuges entlang der Zeit kann mithilfe der quadratischen Funktion $s$ mit $s(t)=0.1\cdot t^2$ beschrieben werden.
$t...$ Zeit in Sekunden (s) (es gilt: $t\geq 0$)
$s(t)...$ Weg in Metern (m)
a) Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug nach 5 s zurückgelegt hat?
b) Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden das Fahrzeug 8.1 m weit gefahren ist?
c) Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen der 5. und 9. Sekunde in km/h.
$$s(t)=0.1\cdot t^2$$
$$s(5)=0.1\cdot 5^2=2.5\ m$$
A: Nach 5 Sekunden hat das Fahrzeug einen Weg von 2.5 m zurückgelget.
b) $s(t)=8.1$ m und gesucht ist das passende $t$:
$$s(t)=0.1\cdot t^2$$
$$8.1=0.1\cdot t^2$$
$$81=t^2$$
$$\pm 9=t$$
A: Da die negative Lösung nicht infrage kommt (das Auto fährt an, somit betrachten wir nur positive Werte für die Zeit) hat das Fahrzeug nach 9 s eine Distanz von 8.1 m erreicht.
c) Die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen der 5. und 9. Sekunde entspricht der durchschnittlichen Steigung des Graphen von $s(t)$ im Intervall [5;9] (siehe Abbildung rechts).
Die durschnittliche Steigung kann mit dem Differenzenquotienten berechnet werden: $$\bar{k}_{[5;9]}=\frac{\Delta y}{Delta x}=\frac{s(9)-s(5)}{9-5}\underbrace{=}_{\textrm{siehe a) und b)} } \frac{8.1-2.5}{9-4}=\frac{5.6}{5}=1.12\textrm{ m/s}$$
!!Achtung!! Da wir im Differenzenquotient die Meter (=im Zähler) durch die Sekunden (=im Nenner) dividiert haben, erhalten wir als Einheit Meter pro Sekunde m/s
Laut Angabe sind aber km/h gefordert, somit wandeln wir noch um: $$ 1.12\ m/s \underbrace{=}_{:1000}=0.00112 km/s \underbrace{=}_{\cdot 60\ \textrm{min}\cdot 60\ \textrm{sek} }4.032\ km/h$$ (Alternativ hätten wir die 1.12 m/s einfach mit $3.6=\frac{60\cdot 60}{1000}$ multiplizieren können)
Somit hat das Fahrzeug zwischen der 5. und 9. Sekunde eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 4.032 km/h.
Weitere Beispiele finden sich:
3. Klasse-Buch: S. 41
Der Differentialquotient (= momentane Steigung)
Definition
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Die momentane Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle x
$$ {k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$
wird als Differentialquotient bezeichnet.
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Bemerkungen:
- Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der x-Achse der beiden Punkte A und B immer näher gegen 0 gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante (blau) immer mehr der Tangente (rot) nähert.
- $Aha!$ $\ \ $ Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen
- Anstelle von $k$ wird auch $f'(x)$ geschrieben und damit gilt:
$$ {f'(x)}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$
Video-Erklärung
| Video zum Differentialquotienten |
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Hinweise zum Video:
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$ |
Aufgaben
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Lösungen
$\begin{align} f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^2+2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2)-x^2}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(2\cdot x+ \Delta x)}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2\cdot x+ \Delta x)}{1}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2\cdot x+ \underbrace{\Delta x}_{\rightarrow 0}\\ f'(x)= 2\cdot x \end{align}$
$$f'(x)=2x$$ $$f'(2)=2\cdot 2$$ $$f'(2)=4$$ Die Steigung der Funktion an der Stelle x=2 beträgt 4. |
Berechnung des Differentialquotienten
$\rightarrow$ siehe Artikel Ableitung bestimmen
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