Wachstums- und Zerfallsprozesse

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In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen Funktionen beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:

• lineare Funktionen y=kx+d
• Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{lambda \cdot x}$
• quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$

Grundbegriffe

• $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
• $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
• $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$

Definition und Verwendung

Graph einer linearen Zunahme

Graph einer linearen Zunahme

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst. Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann: $$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

• Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
• Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

Hinweise:

• Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine lineare Funktion der Form

$$ y=k\cdot x+d$$

Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$

• Herleitung der Funktionsgleichung:

Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde: $$N(1)=N_0+k$$ Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist $$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$ Und nach 3 Stunden gilt $$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$ Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden: $$N(t)=N_0+k\cdot t$$

Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$

Definition und Verwendung

Eine größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Faktor a wächst. Wie bei den Exponentialfunktionen gibt es auch hier zwei Formeln:

Graph einer exponentiellen Zunahme

$$N(t)=N_0\cdot a^t $$	$$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
$a ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe Exponentialfunktionen) Beispiel: $a=1.26$ $\rightarrow $ die Population wächst um den Faktor 1.26 $\rightarrow $ die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %	$\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate. Es gilt: $a=e^\lambda $

Verdoppelungszeit

Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit, wie lang ein Wert braucht, bis er sich verdoppelt hat, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt). Aus diesem Grund definiert man die:

Definition: Verdoppelungszeit

Die Verdoppelungszeit $\tau ... $ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$ $$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$

Musterbeispiele (rechnerisch + aus graphik lesen)

Merke: Berechnung der Halbwertszeit

Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

Beispiel: Graph, Rechnung (mit Merke), Lambda berechnen, Wie lange dauert es, bis es sich viertelt.

Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

lineares Wachstum	exponentielles Wachstum
Addition um eine konstante Zahl	Multiplikation um einen konstanten Faktor
immer $+k$	immer $\cdot a$
Graph ist eine Gerade	Graph ist eine exponentielle Kurve
wächst immer um dieselbe konstante Zahl k	wächst immer schneller
Graph einer linearen Zunahme	Graph einer exponentiellen Zunahme

Übungsbeispiel: Linear oder Exponentiell

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:

1. Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
2. Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
3. Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
4. Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
5. Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

Lösung:

1. Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: exponentiell mit $a=1.05$
2. Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: linear mit $k=4$ cm
3. Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: exponentiell mit $a=1.2$
4. Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: linear mit $k=1$ cm
5. Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. exponentiell mit $a=1.03$
6. Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme

  Siehe hier noch Bspe von Langer

Mache hier Learning-App-Quiz

Durchmischte Beispiele

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden