Exponentialfunktionen(3.5.)
| Definition: | Exponentialfunktionen sind Funktionen, deren Funktionsgleichung die Form $$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$ oder $$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+, \lambda \in \mathbb{R} $$ |
Hinweise
- $e$ steht für die Eulersche Zahl
- $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen
Inhaltsverzeichnis
Graph der Exponentialfunktion
Je nach Größe der Parameter a und b bzw. λ verändert sich der Graph:
| animiertes Gif der Fkt |
| a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt. | ||
| für $a>1$ oder $\lambda>0$ |
ist der Graph monoton steigend. Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph |
animiertes Gif |
| für $0<a<1$ (d.h. wenn a zwischen 0 und 1 ist) oder $\lambda<0$ | ist der Graph monoton fallend und nähert sich immer mehr der x-Achse | animiertes Gif |
Hier nun eine Learning-App oder GeoGebra-Quiz dazu (Graph bestimmen)
Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion
- Die x-Achse ist eine Asymptote des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
- Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1).
- Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verendet.
Siehe Wachstums- und Zerfallsprozesse
Beispiele: Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.
1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach)
Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die Parameter a und b.
Lösung: Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
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$y=b\cdot a^x$
$\rightarrow 3=b\cdot a^0 \rightarrow \underline{3=b}$ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.) $\rightarrow 12=3\cdot a^2 \richtarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$ |
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$
2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel)
Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die Parameter a und b.
3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach)
Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die Parameter $\lambda$ und b
Lösung: 1. Punkt (0|3): Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1) 2. Punkt (2|27): Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten: $$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$ $$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$ Nun wenden wir den Logarithmus an: $$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$ $$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$ $$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 $$ $$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$ $$\underline{1.1=\lambda}$$
Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$ Kategorie Funktionen
