Kurvendiskussionen

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Überblick und Einleitung

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:

• Nullstellen
• Extremwerte
• Krümmungsverhalten und Wendepunkte

Grundwissen über f(x), f'(x) und f''(x)

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

	$f(x)$	$f'(x)$	$f''(x)$
Gibt an ...	den Funktionswert an der Stelle x	die Steigung von f an der Stelle x	die Krümmung von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)
physikalische Interpretation	Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm oder Höhe eines Objektes etc.	momentane Änderungsrate/Geschwindigkeit an der Stelle x	Beschleunigung an der Stelle x
wenn $>0$	Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse	$f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.	$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.
wenn $<0$	Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse	$f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend. Die Entfernung nimmt ab.	$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig) Die Steigung nimmt ab.
wenn $=0$	Nullstelle	Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein Extremum.	Möglicherweise befindet sich hier ein Wendepunkt.

Nullstellen

Nullstelle

Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte

Im Graphen sind die beiden Extremstellen $x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.

Definition:

Lokale Extremstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen Hoch- oder Tiefpunkt hat. Formale Definition: Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt steigt f nicht und fällt f nicht). Somit gilt $f'(x)=0$ Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt rechtsgekrümmt (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt linksgekrümmt (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...

Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum

$f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)< 0$ $\Rightarrow\ \ \ \ $ $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f $f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)>0$ $\Rightarrow\ \ \ \ $ $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f $f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)=0$ $\Rightarrow\ \ \ \ $ dann muss hier nicht unbedingt ein Extremum sein.

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

=== Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$===

Graph von $f(x)=x^3$

Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

$f'(x)=3x^2$ $0=3x^2$ $\rightarrow x=0$

$\ $ und $\ \ \ \ $

$f''(x)=6x$ $f''(0)=0$

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!