Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung

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Zufallsvariablen

Definition
Grün rufezeichen.png
 Das Ergebnis eines Zufallsexperimentes kann mithilfe einer "Zufallsvariable" $X$ beschrieben werden.

Die Zufallsvariable ordnet dabei jedem Einzelereignis eine reelle Zahl zu.


Beispiel: Beim Würfeln mit einem Würfel kann die Zufallsvariable die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zufällig annehmen (d.h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\}=$Wertebereich von $X$). Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ die Zahl 6 annimmt ist: $$P(X=6)=P(6er\ würfeln)=\frac{1}{6}$$


Man unterscheidet zwischen 2 Typen von Zuvallsvariablen:

  • Die diskrete Zufallsvariable hat einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen).
  • Die stetige Zufallsvariable hat als Wertebereich ein Intervall in den reellen Zahlen und damit einen nicht abzählbaren Wertebereich.

Mithilfe der Zufallsvariable wird uns nun das Berechnen der folgenden Aufgaben erleichtert.

Diskrete Zufallsvariablen

Diskrete Zufallsvariablen haben einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen).

Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion

Definition
Grün rufezeichen.png
 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$ ordnet jedem Einzelereignis seine Wahrscheinlichkeit zu:

$$f: f(x_i)=P(X=x_i)$$ wobei $x_i$ ein Einzelereignis (z.B.: $x_1...1er\ würfeln,\ x_2...2er\ würfeln$ usw.) und $P(X=x_i)$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit ist: $P(X=x_1)=P(X=1er)=\frac{1}{6}...$)


Die folgende Abbildung zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:

Jedes Ereignis $x_i$ hat als Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}\approx 0.17$

Wollen wir nun wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man beim Würfelwurf eine Zahl $\leq 3$ würfelt, so müssen wir $P(X\leq 3)$ berechnen: $$P(X\leq 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$$


Definition
Grün rufezeichen.png
 Die Verteilungsfunktion $F$ ist definiert als $F(x_i)=P(X\leq x_i)$. Sie gibt also immer die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich dem Wert von $x_i$ annimmt.


Die folgende Graphik zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:

Verteilungsfunktion $F$ für die das Würfeln eines Würfels, wobei $X$ die Augenzahl angibt.


Hinweise zur Verteilungsfunktion:

Die Funktion $F$ macht aus folgenden Gründen immer Sprünge:
- die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als $1$ gewürfelt wird ($=P(X<1)$) ist $0$, somit sind alle Funktionswerte von $F$ links der 1 gleich 0.
- Bei $X=1$ macht die Verteilungsfunktion $F$ einen Sprung. Anschließend ist für alle $X<2$ die Wahrscheinlichkeit $P(X<2)=\frac{1}{6}\approx 0.17$ (die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 2 gewürfelt wird ist $\frac{1}{6}$)
- Bei $X=2$ macht die Funktion wieder einen Sprung um den Wert $\frac{1}{6}\approx 0.17$, da hier die Wahrscheinlichkeit für eine 2 ($=P(X=2)=\frac{1}{6}$) hinzukommt.
- Ab $X=6$ hat die Verteilungsfunktion durchgängig den Wert $1$, da gilt $P(X<=6)=1$ (die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner oder gleich 6 gewürfelt wird, ist 1).
- Die Höhe der Sprünge entspricht gerade der Höhe der Funktionswerte bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion (siehe oben).


Erwartungswert und Standardabweichung

Im Kapitel Beschreibende Statistik haben wir bereits Begriffe wie die relative Häufigkeit, das arithmetische Mittel und die Standardabweichung kennen gelernt. Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es ähnliche Konzepte: Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Standardabweichung:

Idee ... in der Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Statistik
Prozent Wahrscheinlichkeit $$P(X=x_i)$$ relative Häufigkeit $$h_i=\frac{H_i}{n}$$
Mittel/Durchschnitt Erwartungswert $E(X)$ oder $\mu$ $$\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$$ Arithmetisches Mittel $$\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot h_i$$
Streuung/Abweichung vom Mittel Standardabweichung $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$$ Standardabweichung $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\cdot h_i}$$


Bsp.png

Berechnen Sie a) den Erwartungswert b) die Standardabweichung beim Wurf eines sechsseitigen Würfels, wobei die Zufallsvariable $X$ die Augensumme angibt $($d.h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\})$.

a) Zuerst machen wir uns eine Wertetabelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion $f: f(x_i)=P(X=x_i)$:
Wertetabelle-wahrscheinlichkeitsfkt-Würfel.png

Der Erwartungswert $E(X)=\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$. Setzen wir die Werte aus der Tabelle in die Formel ein, so erhalten wir: $$ \sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)=\underbrace{1}_{x_1}\cdot \underbrace{\frac{1}{6} }_{P(X=x_1) }+2\cdot \frac{1}{6} +3\cdot \frac{1}{6} +4 \cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=\underline{\underline{3.5} }$$

Der Erwartungswert $\mu$ beträgt also 3.5. Natürlich kann man aber beim einmaligen Würfeln nicht 3.5 würfeln. Man kann den Erwartungswert aber so interpretieren, dass, wenn man lange genug würfelt, der Durchschnitt bei 3.5 liegen wird.


b) Die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$

Setzen wir wieder alles in die Formel ein (siehe obige Wertetabelle und $\mu=3.5$): $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}=\\ \sqrt{(1-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(2-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(3-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(4-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(5-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(6-3.5)^2\cdot \frac{1}{6} }\\ =\underline{\underline{1.71} }$$


Exkurs: Kombinatorik - Die Kunst des Abzählens

Binomialkoeffizient

Exkurs 2: Lotto

Mit dieser Überlegung können wir uns nun ganz einfach die Wahrscheinlichkeit für einen Lottogewinn berechnen. Beim Lotto werden insgesamt 6 von 45 Kugeln gezogen. Dabei ist die Reihenfolge, egal.

  • Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist somit $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus 45 Kugeln werden 6 gezogen).
  • Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{6}=1$

Somit ist die Wahrscheinlichkeit für einen Lotto-6er: $$P(Lotto-6er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{6}}{\binom{45}{6}}=\frac{1}{8.145.060}$$


Bsp.png

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto 5 der 6 richtigen auszuwählen.


  • Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist wieder $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus 45 Kugeln werden 6 gezogen).
  • Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{5}=6$ (aus 6 Kugeln werden 5 gezogen) Mal $\binom{39}{1}$ (=aus 39 Kugeln, wird eine gezogen).

$$P(5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{5}\cdot \binom{39}{1} }{\binom{45}{6} }=\frac{6\cdot 39}{8.145.060}$$


Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung

Definition und Formel

Im Folgenden betrachten wir ein sogenanntes:


Definition
Grün rufezeichen.png
 Bernoulli-Experiment

Dies sind Experimente, bei denen es

  1. genau zwei mögliche Ergebnisse $E$ und $\bar{E}$ (nicht $E$) gibt und
  2. sich die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Ereignisse nicht ändert. D.h. für alle Versuchsausgänge gilt $P(E)=p$ und $P(\bar{E})=1-p$.


Typische Beispiele hierfür wären:

  • Ziehen von roten und blauen Kugeln aus einer Urne mit Zurücklegen. Die Zuvallsvariable $X$ zählt das Auftreten von roten Kugeln.
  • Mehrmaliges Würfeln mit einem Würfel. Die Zuvallsvariable $X$ zählt das Auftreten eines $6er$.
  • Multiple-Choice-Tests. Die Zufallsvariable $X$ zählt die richtigen Antworten.


Bsp.png

Sie stehen vor einer Urne mit 7 roten und 13 blauen Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 4-maligem Ziehen mit Zurücklegen, 3 Mal eine rote Kugel zu erhalten?

Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der roten Kugeln. Gefragt ist also

$$P(X=3)=?$$

Baumdiagramm für das dreimalige Ziehen aus einer Box mit 7 roten und 13 blauen Kugeln


  • Anzahl der Pfade zu unserem Ergebnis: Um von 4 Ziehungen 3 mal eine rote Kugel zu ziehen gibt es $\binom{4}{3}=4$ Möglichkeiten, nämlich:

(r,r,r,b); (r,r,b,r); (r,b,r,r,); (b,r,r,r).

  • Die Wahrscheinlichkeit für dreimal rot ist $p^3\cdot (1-p)^1$ mit $p=\frac{7}{20}$.
Begründung: Nehmen wir zum Beispiel (r,r,r,b).

Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen ist $p=\frac{7}{20}$. Die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu ziehen ist $(1-p)=\frac{13}{20}$. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (r,r,r,b) aufgrund der Multiplikationsregel $$p\cdot p\cdot p\cdot (1-p)=p^3\cdot (1-p)^1$$ Für die anderen Ausfälle (r,r,b,r); (r,b,r,r,); (b,r,r,r) kommt man auf dasselbe Resultat. Somit erhalten wir: $$P(X=3)=\underbrace{\binom{4}{3} }_{\textrm{Anzahl der Fälle} }\cdot \underbrace{p^3\cdot (1-p)^1}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen dieser Fälle} }=4\cdot (\frac{7}{20})^3\cdot \frac{13}{20}= 0.1115=11.15\%$$


Definition
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 Binomialverteilung und Formel

Es wird ein Bernoulli-Experiment (2 Ereignisse: Erfolg oder Misserfolg) n-mal durchgeführt, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ konstant bleibt.

Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der Erfolge.

Dann ist $X$ binomialverteilt (kurz: $B(n;p)$) mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion $$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$


Merke
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 Die Formel für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$

setzt sich folgendermaßen zusammen:

  • $\binom{n}{k}...$ Anzahl der Möglichkeiten, dass von $n$ Versuchen der Erfolg insgesamt $k$-mal eintritt.
  • $p^k...$ Wahrscheinlichkeit, dass der Erfolg insgesamt $k$-mal eintritt.
  • $(1-p)^{n-k}...$ Wahrscheinlichkeit, dass der Erfolg insgesamt $n-k$-mal NICHT eintritt.




Merke
Rotes rufezeichen.png
 Für eine Zufallsvariable $X$, die $B(n;p)-$verteilt ist, gilt:
  • Erwartungswert: $E(X)=\mu=n\cdot p$
  • Standardabweichung: $\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p) }$


Bsp.png

Ein Würfel wird 30-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
a) 8-mal eine 6 zu würfeln?
b) niemals eine 6 zu Würfeln?
c) maximal einmal eine 6 zu würfeln?
d) mindestens zweimal eine 6 zu würfeln? e) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung.

Die Zuvallsvariable $X$ zähle das Vorkommen einer 6. Da es sich um ein Bernoulli-Experiment handelt (zwei Ereignisse: 6er oder kein 6er und die Wahrscheinlichkeit für eine 6 bleibt konstant $p=\frac{1}{6}$) ist $X$ verteilt mit $n=30$ und $p=\frac{1}{6}$ und es gilt:

$$P(X=k)=\binom{30}{k}\cdot (\frac{1}{6})^k\cdot (\frac{5}{6})^{30-k}$$


a) Gesucht ist $P(X=8)$. Setzen wir das in die Formel ein, so erhalten wir: $$P(X=8)=\binom{30}{8}\cdot (\frac{1}{6})^8\cdot (\frac{5}{6})^{30-8}=0.0632=6.32\% $$

Die Höhe des blauen Balken gibt die Wahrscheinlichkeit für 8 Sechser an.

b) Gesucht ist $P(X=0)$, dies kann entweder einfach über die Multiplikationsregel $(P(X=0)=(\frac{5}{6})^30)$ berechnet werden, oder mit der Formel für die Binomialverteílung: $$P(X=k)=\binom{30}{0}\cdot (\frac{1}{6})^0\cdot (\frac{5}{6})^{30-0}=0.0042=0.42\% $$

c) Gesucht ist $P(X\leq 1)$: $$P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)=\underbrace{0.0042}_{P(X=0)}+\underbrace{\binom{30}{1}\cdot (\frac{1}{6})^1\cdot (\frac{5}{6})^{30-1} }_{P(X=1)}=0.0042+0.0253=0.0295=2.95\% $$

Eingefärbt sind P(X=0) und P(X=1). Zusammen ergeben Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 1)$.


d) Betrachten wir die obige Abbildung von Aufgabe c). Dann ist die Wahrscheinlichkeit mindestens zweimal eine 6 zu ziehen $(P(X\geq 2))$ gerade die weiß eingefärbte Fläche. Mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit erhalten wir: $$P(X\geq 2)=1-P(X\leq 1)=1-0.0295=0.9705=97.05\% $$

e)

  • $E(X)=n\cdot p=30\cdot \frac{1}{6}=5$ (dies kann man auch aus den obigen Graphen herauslesen!)
  • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{30\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6} }=\sqrt{\frac{25}{6} }\approx 2.04$.


Typischer Graph der Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung wird in der Regel als Histogramm dargestellt.

$Aha!$ In diesem Arbeitsblatt lernst du den Grafen einer binomialverteilten Zufallsvariable besser kennen


  • Rechtsschiefe Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0.2$. Damit ist $E(X)=2$ und $\sigma=2.26$

  • symmetrische Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0.5$. Damit ist $E(X)=5$ und $\sigma=1.58$

  • Linksschiefe Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0.7$. Damit ist $E(X)=7$ und $\sigma=1.45$

Merke
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 Eigenschaften:
  • Die Höhe und Fläche eines Balkens geben die Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ an.
  • Die gesamte Fläche aller Balken beträgt 1 ($=100$ %). Rechnerisch: $\sum_{k=0}^{n} P(X=k)=1$
  • Der höchste Balken befindet sich immer beim Erwartungswert.
  • Je größer die Standardabweichung ist, desto flacher ist der Graph.
  • Ist $p\leq 0.5$, so ist der Graph rechtssschief
  • Ist $p\geq 0.5$, so ist der Graph linksschief



Beispiele zur Binomialverteilung


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