Wachstums- und Zerfallsprozesse
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In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen Funktionen beschrieben werden.
Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
- lineare Funktionen y=kx+d
- Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$
- quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$
Grundbegriffe
- $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
- $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
- $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)
Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$
Definition und Verwendung
Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$
- Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
- Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abnahme
Hinweise:
- Bei $$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$ handelt es sich um eine lineare Funktion der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
- Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
- Herleitung der Funktionsgleichung:
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.
Dann gilt für $N(1)=$ Individuen nach einer Stunde: $$N(1)=N_0+k$$ Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist $$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$ Und nach 3 Stunden gilt $$N(3)=N(2)+k=(N_0+2k)+k=N_0+3k$$ Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden: $$N(t)=N_0+k\cdot t$$
Musterbeispiel:
Stanislaus hat ein Geburtsgewicht von 3120 g. Nach 3 Wochen hat er bereits 3900 g.
- Erstelle ein lineares Modell, welches die Abhängigkeit des Gewichts vom Alter beschreibt.
- Was bedeuten die Parameter k und d in diesem Zusammenhang?
- Stanislaus ist bei seiner Taufe 10 Wochen alt. Welches Gewicht hat er?
- Wann erreicht Stanislaus ein Gewicht von 6,2 kg?
Lösung
- $y=260x+3120$, wobei y=Gewicht in g, x = Alter in Wochen
- k beschreibt die wöchentliche Zunahme in Gramm und d beschreibt das Geburtsgewicht von Stanislaus
- $y=260\cdot 10+3120=5720$. Stanislaus wiegt nach 10 Wochen 5720 g.
- Löse die Gleichung: $6200=260x+3120. Lösung: x=11,84. Also in der 12. Woche nach der Geburt erreicht Stanislaus ein Gewicht von 6,2 kg.
== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$== === Definition und Verwendung=== Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst. Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln: [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]] {| border="1" align="center" |- | UNIQb036603dd98c4549-MathJax-10-QINU | UNIQb036603dd98c4549-MathJax-11-QINU |- | $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]]) Beispiel: {| | $a=1.26$ |$\rightarrow $ | die Population wächst um den Faktor 1.26 | $\rightarrow $ | die Population wächst pro Zeiteinheit um $26$ % |} | $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate. Es gilt: $a=e^\lambda $ |}
=== Verdoppelungszeit === Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt). Aus diesem Grund definiert man die: {| border ="1" |
'''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $'''
| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: UNIQb036603dd98c4549-MathJax-12-QINU UNIQb036603dd98c4549-MathJax-13-QINU |}
'''1. Musterbeispiel:''' Berechnung der Verdoppelungszeit bei bekannter Anfangsmenge
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.
'''Lösung'''
a) $N_0=100$; $a=(1+\frac{6.5}{100})=1.065 \ \ \rightarrow$ $\underline{\underline{N(t)=100\cdot 1.065^t}}$
b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-14-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-15-QINU
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c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.
Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.
'''2. Musterbeispiel:''' Berechnung der Verdoppelungszeit bei unbekannter Anfangsmenge
Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel Prozent sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.
'''Lösung'''
a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.
b)
Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-19-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-20-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-21-QINU
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist! Dies kam auch schon im 1. Musterbeispiel vor.
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-22-QINU
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A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.
'''3. Musterbeispiel:''' Bestimmen des Wachstumsfaktors bei bekannter Verdoppelungszeit
{| border ="1"
|
Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.
'''Lösung:'''
a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-25-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-26-QINU
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A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16 % dazukommen.
b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!
'''Merke:'''
| * Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt. * Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel) | |[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px|Mehrfache Verdoppelung eines exponentiellen Wachstums]] |}=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum === Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse: {| border="1" align="center" |- !| lineares Wachstum !| exponentielles Wachstum |- |Addition um eine konstante Zahl | Multiplikation um einen konstanten Faktor |- | immer $+k$ | immer $\cdot a$ |- | Graph ist eine Gerade | Graph ist eine exponentielle Kurve |- | wächst immer um dieselbe konstante Zahl k | wächst immer schneller |- | [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]] | [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]] |}
'''Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?'''
Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %
'''Lösung:'''
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: exponentiell mit $a=1.05$
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: linear mit $k=4$ cm
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: exponentiell mit $a=1.2$
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: linear mit $k=1$ cm
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. exponentiell mit $a=1.03$
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme
==Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ == '''Definition:''' Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer '''um den gleichen Faktor verkleinert'''. [[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]] {| border="1" align="center" |- | UNIQb036603dd98c4549-MathJax-31-QINU | UNIQb036603dd98c4549-MathJax-32-QINU |- | $a<1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]]) Beispiel: {| | $a=0.64$ |$\rightarrow $ | die Population verringert sich um den Faktor 0.64 | $\rightarrow $ | die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ % |} | $-\lambda<0 ...$ ist die Abnahmerate. Es gilt: $a=e^{-\lambda} $ |}
=== Halbwertszeit === Eine besondere Eigenschaft der exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum). Aus diesem Grund definiert man die: {| border ="1" |
'''Definition: Halbwertszeit $\tau $'''
| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: UNIQb036603dd98c4549-MathJax-33-QINU UNIQb036603dd98c4549-MathJax-34-QINU |}
'''Musterbeispiel:'''
{| border ="1"
|
Von einer bestimmten Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?
'''Lösung:'''
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: UNIQb036603dd98c4549-MathJax-35-QINU
b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-36-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-37-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-38-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-39-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-40-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-41-QINU
A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.
c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann $\lambda$ bestimmt werden:
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-42-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-43-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-44-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-45-QINU
Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-46-QINU
d)
Gefragt ist, wann UNIQb036603dd98c4549-MathJax-47-QINU ist. Formulieren wir dies noch "mathemtischer", so erhalten wir: UNIQb036603dd98c4549-MathJax-48-QINU
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formel man nimmt), so erhält man:
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-49-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-50-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-51-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-52-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-53-QINU
UNIQb036603dd98c4549-MathJax-54-QINU
A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.
'''Merke: $\ \ \ \ \ \ $ '''
| * Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für UNIQb036603dd98c4549-MathJax-55-QINU einsetzt. * Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ | |[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|600px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, unabhängig davon wie groß dieser ist.]] |}=== Übungsaufgaben === Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].
== Durchmischte Beispiele == Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden * [http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten) * [http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)] :: ... und [http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen] * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=31&file=Schiunfaelle.pdf Schiunfälle] (bifie-Aufgabe: leicht) :: siehe auch [[Statistische Diagramme]] * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=136&file=Neuronen_in_der_Grosshirnrinde.pdf Neuronen in der Großhirnrinde] (bifie-Aufgabe: leicht) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=220&file=PKW-Bestand.pdf PKW-Bestand] (leicht) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=178&file=Alkoholspiegel.pdf Alkoholspiegel] (leicht-leicht-mittel-mittel) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=203&file=Wirksame_Substanz_eines_Medikamentes.pdf Wirkame Sumstanz eines Medikamentes] (bifie-Aufgabe: mittel) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=218&file=Tauchen_(1).pdf Aufgabe Tauchen] (bifie-Aufgabe) : Siehe auch: [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Gleichungen aufstellen]] und [[Äquivalenzumformungen]] * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_(1).pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe) *: siehe auch [[Lineare Funktionen]] * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe) * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht) : Siehe auch : * [[Beschreibende Statistik]] : * [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Trigonometrie]] * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: Bevölkerung der USA (leicht-leicht-mittel)
- Siehe für Aufgabe b) und c) auch Differenzen- und Differentialquotient
