Taylorreihe

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In der Schule beschäftigen wir uns zu einem großen Teil mit Polynomfunktionen und haben gelernt, damit relativ gut umzugehen (siehe Kurvendiskussionen und Grenzwertberechnung. Hat man aber eine "Nicht-Polynomfunktion" vor sich, so tun wir uns schwere, diese zu analysieren.

Das Berechnen der Taylorreihe ist hierbei eine nützliche Methode, um eine beliebige Funktion f durch eine Polynomfunktion g in einem bestimmten Bereich anzunähern. Die Idee dahinter ist sehr einfach gesagt folgende:

Gegeben ist die "Nicht-Polynomfunktion" f.

Die Polynomfunktion g soll nun der Funktion f in der Umgebung einer Stelle c möglichst ähnlich sein, mit:

• $f(c)=g(c)$ (d.h. die y-Koordinaten sind bei x=c ident)
• $f'(c)=g'(c)$ (d.h. die Steigungen von f und g sind bei x=c ident)
• $f''(c)=g''(c)$ (d.h.: die Krümmungen von f und g sind bei x=c ident)

usw. Je nach Grad des Taylorpolynoms sind auch die weiteren Ableitungen ident.