Lineare Optimierung
Die lineare Optimierung eignet sich besonders für wirtschaftliche Anwendungen, um (unter anderem) die optimale Produktionsmenge und den maximalen Gewinn zu bestimmen.
Methode (zusammengefasst)
- Zuerst werden aus der Angabe alle Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen herausgelesen. Dazu gehören in der Regel auch immer die Nichtnegativitätsbedingungen
- Das Planungsfeld wird erstellt, indem die Ungleichungen gezeichnet werden
- Die Zielfunktion wird aufgestellt, in das Planungsfeld gezeichnet und anschließend bis zum optimalen Punkt parallel verschoben.
- Die Koordinaten des optimalen Punktes werden bestimmt, indem man
- a) die Koordinaten abliest
- b) den Schnittpunkt der beiden Geraden, die sich in diesem Punkt schneiden, berechnet.
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Musterbeispiel
Angabe
| Eine Kleiderfabrik stellt Hosen und Röcke her. Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen, allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück. Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€.
a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in ein Ungleichungen.
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Lösung
a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in Ungleichungen.
Sei x die Anzahl der Hosen, y die Anzahl der Röcke.
| "Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen" |
$$ I:x\leq 70$$ $$II: y\leq 100 $$
| "allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück" |
$$ III: x+y\leq 140 \rightarrow y\leq -x+140 $$
Nichtnegativitätsbedingungen: $$ IV: x\geq 0 \textrm{ und } y\geq 0$$
b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll.
| "Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€." |
Gewinn für eine Hose: $45-20=25$ €.
Gewinn für einen Rock: $35-15=20$ €.
Somit lautet die Zielfunktion, die den Gewinn angibt:
$$\begin{align} Z=25x+20y &\rightarrow -25x+Z=20y \\
&\rightarrow y=-\frac{25}{20}x+\frac{Z}{20} \end{align}$$
c) Löse das System und interpretiere die Lösung.
1. Schritt: Zuerst zeichnen wir das Planungsfeld:
$\begin{align} I:&x\leq 70&\\
II:&y\leq 100&\\
III: &x+y\leq 140& \rightarrow y\leq -x+140 \\
IV:& x\geq 0&\\
V: &y\leq 0& \end{align}$
2. Schritt: Dann zeichnen wir die Zielfunktion ein und verschieben sie parallel ganz nach oben, bis sie das Planungsfeld nur noch in einem Punkt berührt.
$$y=-\frac{25}{20}x+\frac{Z}{20}\rightarrow k=\frac{25}{20} \textrm{und d kann frei gewählt werden.}$$
Der optimale Punkt ist der Schnittpunkt von $I: x=70$ und $II: y=-x+140$. (Hinweis: Natürlich können die Koordinaten des optimalen Punktes auch abgelesen werden, wir wollen sie hier aber berechnen).
3. Schritt Nun berechnen wir den optimal Punkt, indem wir die Geraden $I: x=70$ und $III: y=-x+140$ schneiden:
$$I: x=70$$
$$III: y=-x+140$$
Einsetzungsverfahren: I in III einsetzen.
$$ y=-70+140 \rightarrow y=70$$
Somit lauten die Koordinaten des optimalen Punktes: $P(70|70)$
4. Schritt: Zuletzt berechnen wir noch den maximalen Gewinn, indem wir den optimalen Punkt $(70|70)$ in die Zielfunktion $Z=25x+20y$ einsetzen:
$$Z=25\cdot 70+20\cdot 70=3150$$
5. Schritt: Antwortsatz Der maximale Gewinn von 3150 € wird bei einer Produktion von 70 Hosen und 70 Röcken erzielt.
