Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen

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Lineare Ungleichungen bestehen setzten sich aus zwei Termen zusammen, die durch eines der vier Ungleichheitszeichen $\leq, <, \geq, >$ verbunden sind.

Bsp: $$y\leq 2x+3$$ oder $$2x-y>3$$

Lösungsmenge

Die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung wird als sogenannte "Halbebene" im Koordinatensystem eingezeichnet.

Gib die Lösungsmenge der Ungleichung $2x-y\leq -1$ graphisch in einem Koordinatensystem an.

1. Zuerst stellen wir die Ungleichung frei:

$$2x-y\leq -1 \ \ \vert -2x$$ $$-y\leq -2x-1 \ \ \vert \cdot (-1)$$ Achtung! Bei der Multiplikation und Division mit negativen Zahlen ändert sich das Ungleichheitszeichen!! (siehe Ungleichung) $$y\geq 2x+1$$

1. Nun zeichnen wir zuerst die Gerade für $y=2x+1$ (siehe lineare Funktionen)

Graph der Geraden $y=2x+1$

1. Wir wissen, dass die Lösungsmenge eine der Halbebenen oberhalb oder unterhalb der Geraden ist. Diese zwei Fälle sind möglich:

1. Möglichkeit: Die untere Halbebene ist die Lösungsmenge.

2. Möglichkeit: Die obere Halbebene ist die Lösungsmenge.

Merke

Skizzieren der Lösungsmenge Forme die Ungleichungen zuerst nach y um. Beachte dabei, dass sich die Richtung des Ungleichheitszeichens bei der Multiplikation und Division mit negativen Zahlen ändert. Zeichne nun zuerst die Gerade der linearen Funktion in das Koordinatensystem. Beachte dabei, dass bei <,> die Gerade gestrichtelt gezeichnet wird und bei $leq, geq$ die Gerade ganz normal durchgehend gezeichnet wird. Nun streichen wir die passende Halbebene an: bei $<$ oder $\leq$ ist es die untere Halbebene/linke Halbebene und bei $>$ oder $\geq$ ist es die obere Halbebene/rechte Halbebene. Alternativ kannst du auch einen Punkt des Koordinatensystems in die Ungleichung einsetzen und überprüfen, ob dieser auf der Halbebene liegt.

GeoGebra-Tipp: