Wachstums- und Zerfallsprozesse: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 5. Juli 2014, 17:22 Uhr
In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen Funktionen beschrieben werden.
Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
- lineare Funktionen y=kx+d
- Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{lambda \cdot x}$
- quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$
Inhaltsverzeichnis
Grundbegriffe
- $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
- $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
- $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)
Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$
Definition und Verwendung
Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst. Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann: $$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$
- Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
- Ist k<1, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme
Hinweise:
- Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine lineare Funktion der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
- Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
- Herleitung der Funktionsgleichung:
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.
Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde: $$N(1)=N_0+k$$ Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist $$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$ Und nach 3 Stunden gilt $$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$ Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden: $$N(t)=N_0+k\cdot t$$
Musterbeispiel
Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$
Definition und Verwendung
Von einem exponentiellen Wachstum, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Faktor a wächst. Wie bei den Exponentialfunktionen gibt es auch hier zwei Formeln:
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$ | $$N(t)=N_0\cdot e{\lambda \cdot t}$$ | |||
| $a$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe Exponentialfunktionen)
Beispiel:
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$\lambda<0$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e\lambda $ |
Verdoppelungszeit
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit, wie lang ein Wert braucht, bis er sich verdoppelt hat, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt). Aus diesem Grund definiert man die:
Die Verdoppelungszeit $\tau \... $ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$ $$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$ Merke: Berechnung der Halbwertszeit Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.
Musterbeispiele (rechnerisch + aus graphik lesen)
Beispiel: Graph, Rechnung (mit Merke), Lambda berechnen, Wie lange dauert es, bis es sich viertelt.
Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum
Mache hier Learning-App-Quiz
Musterbeispiel
Exponentielle Abnahme
Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$
Definition und Verwendung
Musterbeispiel
Beschränktes und Logistisches Wachstum
Durchmischte Beispiele
Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden
