Funktionen in mehreren Unbekannten: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Vorlage:Definition|1= Sei $D$ eine Menge von reellen Zahlenpaaren $(x,y)$. Wird jedem Zahlenpaar $(x,y)\in D$ genau eine reelle Zahl $z$ durch eine bestimmte Funktionsvorschrift $f$ mit $z=f(x,y)$ zugeordnet, dann heißt $f$ eine reelle Funktion von den beiden Variablen $x$ und $y$: | {{Vorlage:Definition|1= Sei $D$ eine Menge von reellen Zahlenpaaren $(x,y)$. Wird jedem Zahlenpaar $(x,y)\in D$ genau eine reelle Zahl $z$ durch eine bestimmte Funktionsvorschrift $f$ mit $z=f(x,y)$ zugeordnet, dann heißt $f$ eine reelle Funktion von den beiden Variablen $x$ und $y$: | ||
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| − | f:D\rightarrow \mathbb{R}$ | + | f:D\rightarrow \mathbb{R}$ \{ mit \} $D\subseteq \mathbb{R^2} \\ |
(x,y)\rightarrow z=f(x,y) | (x,y)\rightarrow z=f(x,y) | ||
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Version vom 12. Juli 2019, 17:33 Uhr
Funktionen in mehreren Variablen
In der Schule treten meistens Funktionen auf, die nur von einer unabhängigen Variablen abhängen. Wie wir in Abschnitt Funktionen gesehen haben, ist eine Funktion eine eindeutige Zuordnung, die jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zuordnet. Die Elemente der Definitions- und Wertemenge sind üblicherweise reelle Zahlen.
Betrachtet man jedoch Formeln, die auch als Funktionen interpretiert werden können, treten oft mehrere Variablen auf. Unter anderem deshalb ist es notwendig, den Funktionsbegriff für Funktionen mit zwei und mehr (unabhängigen) Variablen zu erweitern. Die Elemente der Definitionsmenge sind dann Zahlenpaare, Zahlentripel oder allgemein $n$-Tupel, die Wertemenge hingegen bleibt $1$-dimensional ($\mathbb{R}$).
Beispiel 1:
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist von den beiden Seitenlängen $x$ und $y$ abhängig:
\begin{align}
A(x,y)=x\cdot y
\end{align}
$x$ und $y$ sind Elemente der Definitionsmenge. Das Ergebnis von $x \cdot y$ ist ein Wert in der Wertemenge. $A$ ist die Funktion, die den beiden Seitenlängen $x$ und $y$ den Flächeninhalt des Rechteckes zuordnet.
Beispiel 2:
Das Volumen eines Zylinders ist vom Radius $r$ und der Höhe $h$ abhängig:
\begin{align}
V(r,h)=r^2\cdot \pi \cdot h
\end{align}
Beispiel 3:
Das Volumen eines Quaders ist von den Seitenlängen $a,b$ und $c$ abhängig:
\begin{align}
V(a,b,c)=a\cdot b\cdot c
\end{align}
Für Funktionen mit zwei (unabhängigen) Variablen (wie im Beispiel 1 und 2) erhalten wir die einfachste Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs:
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Sei $D$ eine Menge von reellen Zahlenpaaren $(x,y)$. Wird jedem Zahlenpaar $(x,y)\in D$ genau eine reelle Zahl $z$ durch eine bestimmte Funktionsvorschrift $f$ mit $z=f(x,y)$ zugeordnet, dann heißt $f$ eine reelle Funktion von den beiden Variablen $x$ und $y$:
\begin{align} f:D\rightarrow \mathbb{R}UNIQb1a8f81927594dbf-MathJax-25-QINUD\subseteq \mathbb{R^2} \\ (x,y)\rightarrow z=f(x,y) \end{align} |
