Rechnen mit Termen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Vorlage:Definition|1=Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, mathematische Verknüpfungen (wie +,\(\cdot \) ) und Klammern beinhalten kann. }}
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# $(ab)^2 $
 
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# $a^2-2b^3$
 
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Gleiche Variable mit gleicher Hochzahl können addiert werden, während unterschiedliche Variable nicht zusammengefasst werden können. 
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Gleiche Variable können multipliziert werden, indem die Rechenregeln der Potenzen berücksichtigt werden. 
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Unterschiedliche Variable können multipliziert werden, indem sie hintereinander angeschrieben werden. 
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Bei der Multiplikation eines Termes mit einem Monom wird jedes einzelne Glied der Terms mit dem Monom multipliziert. 
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Bei der Multiplikation eines Termes mit einem Monom wird jedes einzelne Glied des Terms mit dem Monom multipliziert. 
  
 
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Doppelbrüche werden vereinfacht indem der Bruch im Zähler des Doppelbruchs durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, dividiert wird.  
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Es darf nie über ein Plus oder ein Minus gekürzt werden. Am Einfachsten ist es, wenn nur bei der Multiplikation von Brüchen gekürzt wird. Vergleiche auch die Rechenregeln von [[Potenzen]].  
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Es darf nie über ein Plus oder ein Minus gekürzt werden. Am einfachsten ist es, wenn nur bei der Multiplikation von Brüchen gekürzt wird. Vergleiche auch die Rechenregeln von [[Potenzen]].  
  
 
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'''Musterbeispiele:''' Berechne:<br />{{Vorlage:Beispiel|1= $$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}$$<br />|2= $$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}= \frac {y^2} {x}$$}}
  
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===Herausheben===
 
===Herausheben===

Version vom 9. Juli 2018, 22:20 Uhr

Definition
Grün rufezeichen.png
 Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, mathematische Verknüpfungen (wie $+,\(\cdot \)$ ) und Klammern beinhalten kann.


Beispiele

  1. $5+x$
  2. $(a+b)^2 $


Definition
Grün rufezeichen.png
 Ein Monom ist ein eingliedriger Term, der weder ein Plus noch ein Minus als Rechenzeichen enthält.


Beispiele

  1. $5x$
  2. $(ab)^2 $


Definition
Grün rufezeichen.png
 Ein Binom ist ein zweigliedriger Term, der ein Plus oder ein Minus als Rechenzeichen enthält.


Beispiele

  1. §5+x§
  2. $a-b$
  3. $a^2-2b^3$

Grundrechnungen

Addition und Subtraktion


Merke
Rotes rufezeichen.png
 Regel

Gleiche Variablen mit gleicher Hochzahl können addiert werden, während unterschiedliche Variablen nicht zusammengefasst werden können. 


Musterbeispiele: Berechne:

Bsp.png

$x+x=$


$x+x=2 \cdot x= 2x$


Berechne:

Bsp.png

$a+b+a+b+a=$


$a+b+a+b+a=3a+2b$

Achtung: Weiter kannst du diesen Term nicht zusammenfassen, da $a$ und $b$ unterschiedliche Variablen sind.


Berechne:

Bsp.png

$x+2y-4x+3y+3x=$


$x+2y-4x+3y+3x=5y$


Berechne:

Bsp.png

$x^2+2\cdot x^2=$


$x^2+2\cdot x^2=3 x^2$


Multiplikation


Merke
Rotes rufezeichen.png
 Multiplikation von identischen Variablen

Gleiche Variablen können multipliziert werden, indem die Rechenregeln der Potenzen berücksichtigt werden. 



Merke
Rotes rufezeichen.png
 Multiplikation unterschiedlicher Variable

Unterschiedliche Variablen können multipliziert werden, indem sie hintereinander angeschrieben werden. 


Musterbeispiele: Berechne:

Bsp.png

$x \cdot x=$


$x \cdot x= x^2$


Berechne:

Bsp.png

$a \cdot b^2 \cdot a^3$


$a \cdot b^2 \cdot a^3=a^4 b^2$



Merke
Rotes rufezeichen.png
 Multiplikation mit einem Monom

Bei der Multiplikation eines Termes mit einem Monom wird jedes einzelne Glied des Terms mit dem Monom multipliziert. 


Musterbeispiele: Berechne:

Bsp.png

$x \cdot x=$


$x \cdot x= x^2$


Berechne:

Bsp.png

$a \cdot (b^2+2a) $


$a \cdot (b^2+2a)=ab^2+2a^2$



Merke
Rotes rufezeichen.png
 Multiplikation von Termen

Bei der Multiplikation zweier Terme wird jedes Glied des ersten Faktors mit jedem Glied des zweiten Faktors multipliziert. 


Musterbeispiele: Berechne:

Bsp.png

$(x+y) \cdot (2x+3y)=$


$(x+y) \cdot (2x+3y)=2x\cdot x+2x\cdot y+3y\cdot x+y\cdot 3y=2x^2+2xy+3xy+3y^2=2x^2+5xy+3y^2$


Division


Merke
Rotes rufezeichen.png
 Division von Termen

Bei der Division von Termen müssen die Rechenregeln beim Rechnen mit Potenzen berücksichtigt werden. 


Vorrangregeln


Merke
Rotes rufezeichen.png
 Vorrangregeln

Beim Rechnen mit Termen gelten die üblichen Rechenregeln vom Rechnen mit reellen Zahlen. Zuerst werden die Klammern vereinfacht, anschließend die Potenzen berechnet. Danach folgen die Punktrechnungen vor den Strichrechnungen.


Doppelbrüche


Merke
Rotes rufezeichen.png
 Doppelbruch

Doppelbrüche werden vereinfacht, indem der Bruch im Zähler des Doppelbruchs durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, dividiert wird.



Merke
Rotes rufezeichen.png
 Doppelbruch

$$ \frac { \frac {a} {b} } {\frac {c} {d} } = \frac {a} {b} : \frac {c} {d} =\frac {a} {b} \cdot \frac {d} {c} = \frac {ad} {bc}$$


Vereinfachungen

Kürzen


Merke
Rotes rufezeichen.png
 Kürzen von Brüchen

Es darf nie über ein Plus oder ein Minus gekürzt werden. Am einfachsten ist es, wenn nur bei der Multiplikation von Brüchen gekürzt wird. Vergleiche auch die Rechenregeln von Potenzen.  


Musterbeispiele: Berechne:

Bsp.png

$$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}$$


$$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}= \frac {y^2} {x}$$


Berechne:

Bsp.png

$$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}$$


$$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}=\frac {x} {x+y}$$ Achtung: Weiter kann hier nicht gekürzt werden, da im Nenner $x+y$ steht und beim Kürzen dabei über das Plus gekürzt würde!


Herausheben


Merke
Rotes rufezeichen.png
 Herausheben

Das Herausheben ist das Gegenteil der Multiplikation von Termen.  



Musterbeispiele: Hebe heraus:

Bsp.png

$3a+9$


$3a+9=3\cdot (a+3)$


Hebe heraus:

Bsp.png

$a^2 b^3+a^3 b^2$


$a^2 b^3+a^3 b^2=a^2 b^2 \cdot (b+a)$


Hebe heraus:

Bsp.png

$a^3+a^2$


$a^3+a^2=a^2 \cdot (a+1)$


Binomische Formeln

Die binomischen Formeln ergeben sich aus der Multiplikation von zwei Binomen.

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Binomische Formeln
  1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  3. $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ 


Musterbeispiele: Berechne:

Bsp.png

$(3x+4y)^2$


$(3x+4y)^2=9x^2+24xy+16y^2$


Berechne:

Bsp.png

$(2m-3n)^2$


$(2m-3n)^2=4m^2-12mn+9n^2$


Berechne:

Bsp.png

$(3c+4d)\cdot (3c-4d)$


$(3c+4d)\cdot (3c-4d)=9c^2-16d^2$


Matura-Aufgaben

siehe auch

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