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Version vom 13. Februar 2017, 18:06 Uhr
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Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, mathematische Verknüpfungen (wie +,\(\cdot \) ) und Klammern beinhalten kann.
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Beispiele
- 5+x
- $(a+b)^2 $
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Ein Monom ist ein eingliedriger Term, der weder ein Plus oder ein Minus als Rechenzeichen enthält.
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Beispiele
- 5x
- $(ab)^2 $
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Ein Binom ist ein zweigliedriger Term, der ein Plus oder ein Minus als Rechenzeichen enthält..
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Beispiele
- 5+x
- $a-b $
- $a^2-2b^3$
Grundrechnungen
Addition und Subtraktion
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Regel
Gleiche Variable mit gleicher Hochzahl können addiert werden, während unterschiedliche Variable nicht zusammengefasst werden können.
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Musterbeispiele: Berechne:
$x+x=$
$x+x=2 \cdot x= 2x$
Berechne:
$a+b+a+b+a=$
$a+b+a+b+a=3a+2b$
Achtung: Weiter kannst du diesen Term nicht zusammenfassen, da a und b unterschiedliche Variable sind
Berechne:
$x+2y-4x+3y+3x=$
$x+2y-4x+3y+3x=1x+5y$
Achtung: Weiter kannst du diesen Term nicht zusammenfassen, da x und y unterschiedliche Variable sind
Berechne:
$x^2+2\cdot x^2=$
$x^2+2\cdot x^2=3 x^2$
Multiplikation
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Multiplikation von identischen Variablen
Gleiche Variable können multipliziert werden, indem die Rechenregeln der Potenzen berücksichtigt werden.
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Multiplikation unterschiedlicher Variable
Unterschiedliche Variable können multipliziert werden, indem sie hintereinander angeschrieben werden.
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Musterbeispiele: Berechne:
$x \cdot x=$
$x \cdot x= x^2$
Berechne:
$a \cdot b^2 \cdot a^3$
$a \cdot b^2 \cdot a^3=a^4 b^2$
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Multiplikation mit einem Monom
Bei der Multiplikation eines Termes mit einem Monom wird jedes einzelne Glied der Terms mit dem Monom multipliziert.
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Musterbeispiele: Berechne:
$x \cdot x=$
$x \cdot x= x^2$
Berechne:
$a \cdot (b^2+2a) $
$a \cdot (b^2+2a)=ab^2+2a^2$
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Multiplikation von Termen
Bei der Multiplikation zweier Terme wird jedes Glied des ersten Faktors mit jedem Glied des zweiten Faktors multipliziert.
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Musterbeispiele: Berechne:
$(x+y) \cdot (2x+3y)=$
$(x+y) \cdot (2x+3y)=2x\cdot x+2x\cdot y+3y\cdot x+y\cdot 3y=2x^2+2xy+3xy+3y^2=2x^2+5xy+3y^2$
Division
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Division von Termen
Bei der Division von Termen müssen die Rechenregeln beim Rechnen mit Potenzen berücksichtigt werden.
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Vorrangregeln
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Vorrangregeln
Beim Rechnen mit Termen gelten die üblichen Rechenregeln vom Rechnen mit reellen Zahlen. Zuerst werden die Klammern vereinfacht, anschließend die Potenzen berechnet. Danach folgen die Punktrechnungen vor den Strichrechnungen.
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Doppelbrüche
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Doppelbruch
Doppelbrüche werden vereinfacht indem der Bruch im Zähler des Doppelbruchs durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, dividiert wird.
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Doppelbruch
$$ \frac { \frac {a} {b} } {\frac {c} {d} } = \frac {a} {b} : \frac {c} {d} =\frac {a} {b} \cdot \frac {d} {c} = \frac {ad} {bc}$$
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Vereinfachungen
Kürzen
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Kürzen von Brüchen
Es darf nie über ein Plus oder ein Minus gekürzt werden. Am Einfachsten ist es, wenn nur bei der Multiplikation von Brüchen gekürzt wird. Vergleiche auch die Rechenregeln von Potenzen.
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Musterbeispiele: Berechne:
$$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}$$
$$\frac {x^2} {y} \cdot \frac {y^3} {x^3}= \frac {y^2} {x}$$
Berechne:
$$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}$$
$$\frac {x^2} {(x+y)^2} \cdot \frac {x+y} {x}=\frac {x} {x+y}$$ Achtung: Weiter kann hier nicht gekürzt werden, da im Nenner x+y steht und beim Kürzen dabei über das Plus gekürzt würde!
Herausheben
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Herausheben
Das Herausheben ist das Gegenteil der Multiplikation von Termen.
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Musterbeispiele: Hebe heraus:
$3a+9$
$3a+9=3\cdot (a+3)$
Hebe heraus:
$a^2 b^3+a^3 b^2$
$a^2 b^3+a^3 b^2=a^2 b^2 \cdot (b+a)$
Hebe heraus:
$a^3+a^2$
$a^3+a^2=a^2 \cdot (a+1)$
Binomische Formeln
Die binomischen Formeln ergeben sich aus der Multiplikation von zwei Binomen.
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Binomische Formeln
- $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
- $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
- $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$
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Musterbeispiele: Berechne:
$(3x+4y)^2$
$(3x+4y)^2=9x^2+24xy+16y^2$
Berechne:
$(2m-3n)^2$
$(2m-3n)^2=4m^2-12mn+9n^2$
Berechne:
$(3c+4d)\cdot (3c-4d)$
$(3c+4d)\cdot (3c-4d)=9c^2-16d^2$
Matura-Aufgaben
siehe auch
