Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen: Unterschied zwischen den Versionen

1. Zuerst stellen wir die Ungleichung frei: $$2x-y\leq -1 \ \ \vert -2x$$ $$-y\leq -2x-1 \ \ \vert \cdot (-1)$$

Achtung! Bei der Multiplikation und Division mit negativen Zahlen ändert sich das Ungleichheitszeichen!! (siehe Ungleichung)

$$y\geq 2x+1$$

2. Nun zeichnen wir zuerst die Gerade für $y=2x+1$ (siehe lineare Funktionen)

Graph der Geraden $y=2x+1$

3. Wir wissen, dass die Lösungsmenge eine der Halbebenen oberhalb oder unterhalb der Geraden ist. Diese zwei Fälle sind möglich:

1. Möglichkeit: untere Halbebene $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 2. Möglichkeit: obere Halbebene

Um herauszufinden, welche dieser Halbebenen die richtige ist, gibt es nun 2 Möglichkeiten:

a) Einsetzen eines beliebigen Punktes auf einer der Halbebenen in die Ungleichung Hierzu nehmen wir einen beliebigen Punkt (z.B.: (0,0) oder (1,4) ) überprüfen, ob dieser Punkt die Ungleichung erfüllt. Erhalten wir eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der entsprechenden Halbebene. Erhalten wir eine falsche Aussage, so liegt der Punkt nicht auf der Halbebene womit die Lösungsmenge die Halbebene gegenüber vom Punkt sein muss.

Einsetzen von (0,0) in $y\geq 2x+1$ ein	Einsetzen von (1,4) in $y\geq 2x+1$ ein
$$y\leq 2x+1$$ $$0 \leq 2\cdot 0+1$$ $$0\leq 0+1$$ $$ 0\leq 1\ \textrm{wahre Aussage}$$ Somit liegt der Punkt (0,0) in der Halbebene. Dadurch wissen wir, dass die untere Halbebene die Lösungsmenge sein muss. Das Einsetzen des Punktes (0,0) führt zu einer wahren Aussage. Somit muss (0,0) auf der Halbebene liegen.	$$y\leq 2x+1$$ $$4 \leq 2\cdot 1+1$$ $$4\leq 2+1$$ $$ 4\leq 3\ \textrm{falsche Aussage}$$ Somit liegt der Punkt (1,4) NICHT in der Halbebene. Dadurch wissen wir, dass die untere Halbebene die Lösungsmenge sein muss. Das Einsetzen des Punktes (1,4) führt zu einer falschen Aussage. Somit kann (1,4) nicht auf der Halbebene liegen.

Hinweis:

1. Selbstverständlich reicht es, nur einen Punkt in die Ungleichung einzusetzen.
2. Achte darauf, dass der eingesetzte Punkt nicht auf der Geraden liegt! Er sollte immer eindeutig in einer der beiden Halbebenen liegen.

b) Richtiges Deuten des Ungleichheitszeichens

Die Ungleichung $y\leq 2x+1$ bedeutet, dass die y-Koodinate immer kleiner oder gleich dem Wert $2x+1$ sein muss. Somit muss die y-Koordinate immer unterhalb der Gerade sein muss. Somit muss die untere Halbebene unterhalb der Geraden sein.

Bei diesem Beispiel muss nur b) $3x+2y\leq 50$ umgeformt werden: a) $y\geq 0\rightarrow $

b) $3x+2y\leq 50 \rightarrow 2y\leq -3x+50 \rightarrow y\leq -\frac{3}{2}x+25 $

c) $x<15$

d) $y<10$

2. Schritt: Zeichnen der Geraden

• 

  a) Die Gerade $y=0$ ist waagrecht und schneidet die y-Achse bei 0.

• 

  b) Die Gerade $y=-\frac{3}{2}x+25$ wird mithilfe des Steigungsdreieckes eingezeichnet.

• 

  c) $x=15$ ist eine senkrechte Gerade, die bei 15 die x-Achse schneidet.

• 

  d) Die Gerade $y=10$ ist parallel zur x-Achse und schneidet bei 10 die y-Achse.

3. Schritt: Ermitteln der entsprechenden Halbebene durch Einsetzen eines Punktes (der Punkt (1,1) eignt sich hier für alle Ungleichungen) oder durch Beachten des Ungleichheitszeichens:

• 

  a) Aufgrund des $\geq$ ist die obere Halbebene der Lösungsbereich.

• 

  b) Aufgrund des $\leq$ ist die untere Halbebene die gesuchte Lösungsmenge.

• 

  c) Aufgrund des $<$ ist die linke Halbebene die Lösungsmenge. Zusätzlich muss die Gerade gestrichelt gezeichnet werden!

• 

  d) Aufgrund des $<$ ist die untere Halbebene die Lösungsmenge. Zusätzlich muss die Gerade gestrichelt gezeichnet werden!

Anschließend markieren wir jenen Bereich, der von allen Ungleichungen überlappt wird.

Das folgende Applet zeigt dir diese 2 Schritte:

Antwort: Der Lösungsbereich ist somit jene unendlich große Fläche, der von allen 3 Ungleichungen begrenzt wird.