Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen lösen: Unterschied zwischen den Versionen
(→Exponentialgleichung durch Umformen lösen) |
|||
| Zeile 2: | Zeile 2: | ||
$$2^{x+3}=16$$ | $$2^{x+3}=16$$ | ||
oder | oder | ||
| − | $$\sin( | + | $$\sqrt{2} \cdot \sin(3 \cdot x)=1$$ |
zu lösen. | zu lösen. | ||
| Zeile 16: | Zeile 16: | ||
Genauere Erklärungen zum Lösen von Exponentialgleichungen findest du [[TI-Befehle#Solve-Befehl|in diesem Abschnitt]]. | Genauere Erklärungen zum Lösen von Exponentialgleichungen findest du [[TI-Befehle#Solve-Befehl|in diesem Abschnitt]]. | ||
| − | {{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme x: | + | {{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme $x$: |
$$2^{x+3}=16$$ | $$2^{x+3}=16$$ | ||
|2= | |2= | ||
| Zeile 31: | Zeile 31: | ||
* Sinus, | * Sinus, | ||
* Cosinus und | * Cosinus und | ||
| − | * Tangens. Gleichungen, in denen eine (oder mehrere) dieser Funktionen vorkommt, nennt man deshalb "''trignometrische Gleichungen''". | + | * Tangens. |
| + | Gleichungen, in denen eine (oder mehrere) dieser Funktionen vorkommt, nennt man deshalb "''trignometrische Gleichungen''". | ||
| Zeile 39: | Zeile 40: | ||
* $tan^{-1}$ Arkustangens | * $tan^{-1}$ Arkustangens | ||
Genaueres dazu lernst du im Kapitel [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] | Genaueres dazu lernst du im Kapitel [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]] | ||
| + | |||
| + | {{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme $x$: | ||
| + | $$\sqrt{2} \cdot \sin(3 \cdot x)=2$$ | ||
| + | |2= | ||
| + | [[Datei:Trigonometrische Gleichungen.png|thumb|300px|right|Löst man die Gleichung graphisch, erkennt man leicht, dass es aufgrund der [[Trigonometrie_(2.12_und_3.10)#Trigonometrische_Funktionen|Periodizität der Sinuskurve]] unendlich viele Lösungen geben muss.]] | ||
| + | $$\sqrt{2} \cdot \sin(3 \cdot x)=1 \ \ \ \ \vert :\sqrt{2} $$ | ||
| + | $$\sin(3\cdot x)=\frac{1}{\sqrt{2} } \ \ \ \ \vert \sin^{-1}$$ | ||
| + | $$ 3\cdot x=\sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{2} } \right) \ \ \ \ \vert :3$$ | ||
| + | $$ x=\frac{\sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{2} } \right)}{ 3}$$ | ||
| + | Berechnet man dies mit dem Taschenrechner, so erhält man, jenachdem ob der man in Gradmaß (''Degree'') oder Bogenmaß (''Radian'') rechnet: | ||
| + | |||
| + | * Bei Gradmaß: $x=15°$, aber auch $x=45°$ ist eine Lösung. Der ganze Lösungsbereich ist $\mathbb{L}=\{x=15°+n\cdot 120°,45°+n\cdot 120°\ mit\ n\in \mathbb{Z} \}$ | ||
| + | * Bei Bogenmaß: $x=0.26=\frac{\pi}{12}$, aber auch $x=0.79=\frac{3\pi}{12}$ ist eine Lösung. Der ganze Lösungsbereich ist $\mathbb{L}=\{\frac{\pi}{12}+n\cdot \frac{2\pi}{3} ,\frac{3\pi}{12}+n\cdot \frac{2\pi}{3} \ mit\ n\in \mathbb{Z} \}$ | ||
| + | }} | ||
Version vom 17. Februar 2016, 10:06 Uhr
In diesem Thema geht es darum gleichungen wie $$2^{x+3}=16$$ oder $$\sqrt{2} \cdot \sin(3 \cdot x)=1$$ zu lösen.
Mithilfe von Technologie
Ohne tieferes Wissen in die Funktionen lassen sich solche Gleichungen im Allgemeinen nur mithilfe von Technologie lösen.
- Mit dem Solve-Befehl des TI
- Mit dem Löse-Befehl von GeoGebra
Exponentialgleichung durch Umformen lösen
Exponentialgleichungen sind Gleichungen, in denen eine Variable im Exponenten steht. Um eine solche Exponentialgleichung zu lösen, braucht es den Logarithmus
Genauere Erklärungen zum Lösen von Exponentialgleichungen findest du in diesem Abschnitt.
Bestimme $x$:
$$2^{x+3}=16$$
$$(x+3)\cdot \lg 2= lg 16 \vert \ \ \ \ :\lg 2$$ $$ x+3=\frac{lg 16}{lg 2}\ \ \ \vert -3$$ $$x=\frac{lg 16}{lg 2}-3$$ $$x=1$$ Selbstverständlich hätte man auch schon zu Beginn sehen können, dass x=1 eine Lösung der Gleichung $2^{x+3}=16$, weil $2^4=16$ ist.
Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen lösen
Zu den trigonometrischen Funktionen gehören
- Sinus,
- Cosinus und
- Tangens.
Gleichungen, in denen eine (oder mehrere) dieser Funktionen vorkommt, nennt man deshalb "trignometrische Gleichungen".
Zum Lösen einer sochen Gleichung benötigt es die inversen trigonometrischen Funktionen
- $sin^{-1}$ Arkussinus
- $cos^{-1}$ Arkuskosinus
- $tan^{-1}$ Arkustangens
Genaueres dazu lernst du im Kapitel Trigonometrie
Bestimme $x$:
$$\sqrt{2} \cdot \sin(3 \cdot x)=2$$
$$\sqrt{2} \cdot \sin(3 \cdot x)=1 \ \ \ \ \vert :\sqrt{2} $$ $$\sin(3\cdot x)=\frac{1}{\sqrt{2} } \ \ \ \ \vert \sin^{-1}$$ $$ 3\cdot x=\sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{2} } \right) \ \ \ \ \vert :3$$ $$ x=\frac{\sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{2} } \right)}{ 3}$$ Berechnet man dies mit dem Taschenrechner, so erhält man, jenachdem ob der man in Gradmaß (Degree) oder Bogenmaß (Radian) rechnet:
- Bei Gradmaß: $x=15°$, aber auch $x=45°$ ist eine Lösung. Der ganze Lösungsbereich ist $\mathbb{L}=\{x=15°+n\cdot 120°,45°+n\cdot 120°\ mit\ n\in \mathbb{Z} \}$
- Bei Bogenmaß: $x=0.26=\frac{\pi}{12}$, aber auch $x=0.79=\frac{3\pi}{12}$ ist eine Lösung. Der ganze Lösungsbereich ist $\mathbb{L}=\{\frac{\pi}{12}+n\cdot \frac{2\pi}{3} ,\frac{3\pi}{12}+n\cdot \frac{2\pi}{3} \ mit\ n\in \mathbb{Z} \}$
