Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen lösen

Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen lösen

In diesem Thema geht es darum gleichungen wie $$2^{x+3}=16$$ oder $$\sqrt{2} \cdot \sin(3 \cdot x)=1$$ zu lösen.

Mithilfe von Technologie

Ohne tieferes Wissen in die Funktionen lassen sich solche Gleichungen im Allgemeinen nur mithilfe von Technologie lösen.

• Mit dem Solve-Befehl des TI
• Mit dem Löse-Befehl von GeoGebra

Exponentialgleichung durch Umformen lösen

Exponentialgleichungen sind Gleichungen, in denen eine Variable im Exponenten steht. Um eine solche Exponentialgleichung zu lösen, braucht es den Logarithmus

Genauere Erklärungen zum Lösen von Exponentialgleichungen findest du unter diesem Link.

Bestimme $x$: $$2^{x+3}=16$$

$$2^{x+3}=16\ \ \ \ \vert \lg $$

$$(x+3)\cdot \lg 2= lg 16 \vert \ \ \ \ :\lg 2$$ $$ x+3=\frac{lg 16}{lg 2}\ \ \ \vert -3$$ $$x=\frac{lg 16}{lg 2}-3$$ $$x=1$$ Selbstverständlich hätte man auch schon zu Beginn sehen können, dass x=1 eine Lösung der Gleichung $2^{x+3}=16$, weil $2^4=16$ ist.

Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen lösen

Zu den trigonometrischen Funktionen gehören

• Sinus,
• Cosinus und
• Tangens.

Gleichungen, in denen eine (oder mehrere) dieser Funktionen vorkommt, nennt man deshalb "trignometrische Gleichungen".

Zum Lösen einer sochen Gleichung benötigt es die inversen trigonometrischen Funktionen

• $sin^{-1}$ Arkussinus
• $cos^{-1}$ Arkuskosinus
• $tan^{-1}$ Arkustangens

Genaueres dazu lernst du im Kapitel Trigonometrie

Bestimme $x$: $$\sqrt{2} \cdot \sin(3 \cdot x)=2$$

Löst man die Gleichung graphisch, erkennt man leicht, dass es aufgrund der Periodizität der Sinuskurve unendlich viele Lösungen geben muss.

$$\sqrt{2} \cdot \sin(3 \cdot x)=1 \ \ \ \ \vert :\sqrt{2} $$ $$\sin(3\cdot x)=\frac{1}{\sqrt{2} } \ \ \ \ \vert \sin^{-1}$$ $$ 3\cdot x=\sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{2} } \right) \ \ \ \ \vert :3$$ $$ x=\frac{\sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{2} } \right)}{ 3}$$ Berechnet man dies mit dem Taschenrechner, so erhält man, jenachdem ob der man in Gradmaß (Degree) oder Bogenmaß (Radian) rechnet:

• Bei Gradmaß: $x=15°$, aber auch $x=45°$ ist eine Lösung. Der ganze Lösungsbereich ist $\mathbb{L}=\{x=15°+n\cdot 120°,45°+n\cdot 120°\ mit\ n\in \mathbb{Z} \}$
• Bei Bogenmaß: $x=0.26=\frac{\pi}{12}$, aber auch $x=0.79=\frac{3\pi}{12}$ ist eine Lösung. Der ganze Lösungsbereich ist $\mathbb{L}=\{\frac{\pi}{12}+n\cdot \frac{2\pi}{3} ,\frac{3\pi}{12}+n\cdot \frac{2\pi}{3} \ mit\ n\in \mathbb{Z} \}$