Rentenrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 27. Dezember 2013, 13:47 Uhr

Definition: Rente

Typische Beispiele einer Rente sind:

• Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
• Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
• "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

Begriffe

Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

!Wichtig! Bei unterjährigen Renten muss der äquivalente Zinssatz berechnet werden.

Musterbeispiel

Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren(ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer KESt von 25%.

Lösung

1. Gegeben und Gesucht
   • Rate R=1200
   • nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
   • ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
   • $i=4\%$
     $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\ \rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
   • Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat)
     
     
     
2. Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$
   
3. Antwortsatz

   Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

Formeln

Sei

$ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen

$ r\dots $ der (äuqivalente) Aufzinsungsfaktor

$ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$

Herleitung der Formeln

Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich. Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$ wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: Herleitung der Endwertformel

Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente

Musterbeispiel einer unterjährigen Rente

Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem äquivalenter Zinssatz gerechnet werden.

TVM-Solver (Rechnen im TR)

Im Ti 82 kannst du die Beispiele auch im Taschenrechner mit dem TVM-Solver lösen.

Hier findest du eine Erklärung des Programms

Beispiele

Sparkonto (Bifie-Aufgabe)

Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)

Bausparen (Bifie-Aufgabe)

Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung) Siehe Schuldentilgung

Rücklage (Bifie-Aufgabe)