Umkehraufgaben: Unterschied zwischen den Versionen
(→Musterbeispiele) |
(→Musterbeispiele) |
||
| Zeile 106: | Zeile 106: | ||
}} | }} | ||
| − | {{Vorlage:Der Graph einer Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung. Die Tangente im Ursprung hat eine negative Steigung und schließt mit der positiven x-Achse einen Winkel von 135° ein. | + | {{Vorlage:Beispiel|1=Der Graph einer Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung. Die Tangente im Ursprung hat eine negative Steigung und schließt mit der positiven x-Achse einen Winkel von 135° ein. Im Punkt $(1\vert 5)$ hat die Tangente die Steigung 14. |
| − | |2= | + | |2= |
| + | Zuerst schreiben wir die allgemeine Funktionsgleichung auf und bestimmen wir die 1. Ableitung (da weder Wendepunkt, noch die Krümmung gegeben sind, brauchen wir die 2. Ableitung nicht) | ||
| + | $$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$$ | ||
| + | $$f'(x)=3\cdot a\cdot x^2+2\cdot b\cdot x+c$$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 1. Gleichung: | ||
| + | |||
| + | ''"... geht durch den Ursprung"''$\rightarrow P(0\vert 0)$ liegt auf dem Graphen $\rightarrow f(0)=0$ | ||
| + | $$I:f(0)=a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d$$ | ||
| + | $$\underline{I:\ d=0}$$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 2. Gleichung: | ||
| + | |||
| + | ''"Die Tangente im Ursprung hat eine negative Steigung und schließt mit der positiven x-Achse einen Winkel von 135° ein."''$\rightarrow f'(0)=$[[Steigung und Steigungswinkel| $=k=\tan(135°)$]] | ||
| + | |||
| + | $$f'(0)=3a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=\tan(135°)$$ | ||
| + | $$ \underline{II:\ c=-1}$$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 3. Gleichung: | ||
| + | |||
| + | ''"Im Punkt $(1\vert 5)$ ..."'' $\rightarrow f(1)=5$$ | ||
| + | $$III:\ f(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=5$$ | ||
| + | $$\underline{III:\ a+b+c+d=5}$$ | ||
| + | Hinweis: Da wir schon aus der Gleichung I wissen, dass d=0 ist, könnten wir auch einfach $a+b+c=5$ schreiben! | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 4. Gleichung | ||
| + | ''"Im Punkt $(1\vert 5)$ hat die Tangente die Steigung 14"''$\rightarrow f'(1)=14$ | ||
| + | $$IV:\ f'(1)=3\cdot a\cdot 1^2+2\cdot b\cdot 1+c=14$$ | ||
| + | $$\underline{IV:\ 3a+2b+c=14}$$ | ||
| + | Hinweis: Hier verwenden wir die Tatsache, dass die Steigung des Graphen an einer Funktion gerade der Steigung der Tangente an dieser Stelle entspricht. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Somit lautet das Gleichungssystem: | ||
| + | $$I:\ d=0$$ | ||
| + | $$II:\ c=-1$$ | ||
| + | $$ III:\ a+b+c+d=5 $$ | ||
| + | $$ IV:\ 3a+2b+c=14 $$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Lösen wir dieses Gleichungssystem, so erhalten wir: $a=3; b=3; c=-1; d=0$ | ||
| + | Damit lautet der gesuchte Term für $f(x)$: | ||
| + | $$\underline{\underline{f(x)=3x^3+3x^2-x} }$$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
}} | }} | ||
Version vom 14. Januar 2015, 18:27 Uhr
Theorie
| Formulierungen im Text | mathematische Übersetzung |
|---|---|
| Der Punkt $P(a\vert b)$ liegt auf dem Graphen der Funktion.
Der Graph der Funktion $f$ verläuft durch $P(a\vert b)$. |
$$f(a)=b$$ |
| Die Funktion schneidet die x-Achse an der Stelle $x=a$.
Die Nullstelle der Funktion $f$ befindt sic bei $N(a|0)$. |
$$f(a)=0$$ |
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ ein Extremum. | $$f'(a)=0$$ |
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ einen Wendepunkt. | $$f''(a)=0$$ |
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ die Steigung k.
Die Funktion $f$ ist an der Stelle $x=a$ parallel zur Geraden $g: y=k\cdot x+d$ |
$$f'(a)=k$$ |
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ den Steigungswinkel $\alpha$ | $$f'(a)=\tan \alpha$$ |
| Die Funktion $f$ berührt an der Stelle $x=a$ die Gerade $y=k\cdot x+d$ | $$f'(a)=k$$
und $$f(a)=k\cdot a+d$$ |
(vgl. Tinhof (u.a.): Mathematik III HLW/...., Trauner, 2012, S. 94)
Musterbeispiele
Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 2 geht durch den Punkt $P=(0\vert 3)$ und hat den Tiefpunkt bei $(3\vert -2)$. Ermittle eine Termdarstellung.
$$f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$ Da wir später die 1. Ableitung verwenden müssen, berechnen wir sie gleich: $$f'(x)=2a\cdot x+b$$ Insgesamt haben wir 3 Unbekannte zu bestimmen: $a, b$ und $c$. Somit brauchen wir 3 Gleichungen:
1. Gleichung: "Der Graph ... geht durch den Punkt $(0\vert 3)$"$\rightarrow f(0)=3$ $$I:\ f(0)=a\dot 0^2+b\cdot 0+c=3$$ $$I:\ c=3$$
2. Gleichung: "... hat den Tiefpunkt $(3\vert -2)$" $\rightarrow$ somit liegt auch der Punkt $(3\vert -2)$ auf dem Graphen $\rightarrow f(3)=-2$ $$II:\ f(3)=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=-2$$ $$II:\ 9a+3b+c=-2$$
3. Gleichung: "... hat den Tiefpunkt $(3\vert -2)$" $\rightarrow f'(3)=0$ $$III:\ f'(3)=2a\cdot 3+2b=0$$ $$III:\ 6a+2b=0$$
Somit lautet das Gleichungssystem: $$I:\ c=3$$ $$II:\ 9a+3b+c=-2$$ $$III:\ 6a+b=0$$ Indem wir das Gleichungssystem lösen erhalten wir: $$a=0.56; b=-3.33; c=3$$ Somit lautet die Funktionsgleichung: $$\underline{\underline{f(x)=0.56\cdot x^2-3.33\cdot x+3} }$$
Graph mit den Punkten
Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die x-Achse bei x=1 und hat den Wendepunkt $W=(3\vert 4)$. Berechne die Termdarstellung.
Zuerst bestimmen wir die 1. und 2. Ableitung, da wir diese gleich brauchen werden: $$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$$ $$f'(x)=3\cdot a\cdot x^2+2\cdot b\cdot x+c$$ $$f''(x)=6\cdot a\cdot x+2\cdot b$$
1. Gleichung: "Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die x-Achse bei x=1"$\rightarrow P(1\vert 0)$ liegt auf dem Graphen $\rightarrow f(1)=0$ $$I:\ f(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=1$$ $$I:\ a+b+c+d=1$$
2. Gleichung: "Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die x-Achse bei x=1" $\rightarrow $ die Steigung ist hier 0 $\rightarrow f'(1)=0$. $$II:\ f'(1)=3a\cdot 1^2+2b\dot 1+c=0$$ $$II:\ 3a+2b+c=0$$
3. Gleichung: "...hat den Wendepunkt $W=(3\vert 4)$"$\rightarrow f(3)=4$ $$III:\ f(3)=a\cdot 3^3+b\dot 3^2+c\cdot 3+d=4$$ $$III:\ 27a+9b+3c+d=4$$
4. Gleichung "...hat den Wendepunkt $W=(3\vert 4)$"$\rightarrow $ die Krümmung ist 0 bei x=3 $\rightarrow f''(3)=0$ $$IV:\ f''(3)=6a\cdot 3+2b=0$$ $$IV:\ 18a+2b=0$$
Nun müssen wir nur noch das Gleichungssystem mit den 4 Gleichungen lösen: $$I:\ a+b+c+d=1$$ $$II:\ 3a+2b+c=0$$ $$III:\ 27a+9b+3c+d=4$$ $$IV:\ 18a+2b=0$$ Und erhalten: $\rightarrow a=-0.19;b=1.69;c=-2.81;d=2.31$ Somit lautet die Funktionsgleichung: $$\underline{\underline{f(x)=-0.19\cdot x^3+1.69\cdot x^2-2.81\cdot x+2.31} }$$
Graph mit den Punkten
Der Graph einer Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung. Die Tangente im Ursprung hat eine negative Steigung und schließt mit der positiven x-Achse einen Winkel von 135° ein. Im Punkt $(1\vert 5)$ hat die Tangente die Steigung 14.
$$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$$ $$f'(x)=3\cdot a\cdot x^2+2\cdot b\cdot x+c$$
1. Gleichung:
"... geht durch den Ursprung"$\rightarrow P(0\vert 0)$ liegt auf dem Graphen $\rightarrow f(0)=0$ $$I:f(0)=a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d$$ $$\underline{I:\ d=0}$$
2. Gleichung:
"Die Tangente im Ursprung hat eine negative Steigung und schließt mit der positiven x-Achse einen Winkel von 135° ein."$\rightarrow f'(0)=$ $=k=\tan(135°)$
$$f'(0)=3a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=\tan(135°)$$ $$ \underline{II:\ c=-1}$$
3. Gleichung:
"Im Punkt $(1\vert 5)$ ..." $\rightarrow f(1)=5UNIQe7ac5d311a754e84-MathJax-44-QINUIII:\ f(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=5UNIQe7ac5d311a754e84-MathJax-45-QINU\underline{III:\ a+b+c+d=5}UNIQe7ac5d311a754e84-MathJax-46-QINUIV:\ f'(1)=3\cdot a\cdot 1^2+2\cdot b\cdot 1+c=14UNIQe7ac5d311a754e84-MathJax-47-QINU\underline{IV:\ 3a+2b+c=14}UNIQe7ac5d311a754e84-MathJax-48-QINUI:\ d=0UNIQe7ac5d311a754e84-MathJax-49-QINUII:\ c=-1UNIQe7ac5d311a754e84-MathJax-50-QINU III:\ a+b+c+d=5 UNIQe7ac5d311a754e84-MathJax-51-QINU IV:\ 3a+2b+c=14 UNIQe7ac5d311a754e84-MathJax-52-QINU\underline{\underline{f(x)=3x^3+3x^2-x} }$$
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Quadratische Funktionen und Bestimmen der Tangentengleichung
