Nullstelle: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | | Nullstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0) | + | | Nullstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0). |
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| − | Die Funktion f(x) hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: f( | + | Die Funktion $f(x)$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: $f(x_1)=0$ |
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| − | Um die Nullstellen zu berechnen, | + | Um die Nullstellen zu berechnen, muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden. Je nach [[Funktionen | Funktionstyp]] von $f(x)$ kann entweder x [[Äquivalenzumformungen | einfach freigestellt werden]] oder ein Lösungsverfahren ([[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]], [[graphisches Lösungsverfahren im TR]], [[Solve-Befehl]]) verwendet werden. |
| − | Als Richtwert, | + | Als Richtwert, kannst du dir aber folgende Regel merken: |
# Bei linearen Gleichungen 0=kx+d: [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Nach x umformen]]. | # Bei linearen Gleichungen 0=kx+d: [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Nach x umformen]]. | ||
# Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: [[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]] | # Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: [[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]] | ||
| − | # Bei | + | # Bei Gleichungen mit [[Grad]] $\ge 3$: [[graphisches Lösungsverfahren im TR]] |
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Version vom 15. Juli 2014, 09:18 Uhr
| Definition: | Nullstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0).
Formale Definition: Die Funktion $f(x)$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: $f(x_1)=0$ |
Video
Berechnung der Nullstellen
Um die Nullstellen zu berechnen, muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden. Je nach Funktionstyp von $f(x)$ kann entweder x einfach freigestellt werden oder ein Lösungsverfahren ( große Lösungformel/Quadkom, graphisches Lösungsverfahren im TR, Solve-Befehl) verwendet werden.
Als Richtwert, kannst du dir aber folgende Regel merken:
- Bei linearen Gleichungen 0=kx+d: Nach x umformen.
- Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: große Lösungformel/Quadkom
- Bei Gleichungen mit Grad $\ge 3$: graphisches Lösungsverfahren im TR
Musterbeispiele
a) Bestimme die Nullstelle der linearen Funktion $f(x)=-2x+4$
b) Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$
Lösung: $$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$ Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit a=-1, b=6 und c=-5 $$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$ $$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$ $$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$ $$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$ Antwort: Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
c) Bestimme die Nullstelle der kubischen Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$ (siehe Abbildung rechts oben).
Lösung mithilfe des graphisches Lösungsverfahren im TR oder dem Löse-Verfahren (GeoGebra) $x_1=-1.9,\ x_2=6$ und $ x_3=7.9$
