Vektorrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Definition & Darstellung von Vektoren

Definition

Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als Vektor aus $\mathbb{R^2}$ bezeichnet. Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als Vektor aus $\mathbb{R^3}$ . Ein allgemeiner Vektor wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

Geometrische Darstellung von Vektoren

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:

• Darstellung als Punkt: Dabei gibt a die x-Koordinate und b die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
• Darstellung als Pfeil: Dabei gibt a die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und b die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt! Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

Beispiel: Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

Punktdarstellung des Vektors	Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

Ortsvektoren

Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

Rechnen mit Vektoren

Addition und Subtraktion von Vektoren

Merke

Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: $\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.

Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")

Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die "Spitze minus Schaft"-Regel
Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

• Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
• Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

Produkt eines Vektors mit einem Skalar

Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer reellen Zahl $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

Geometrische Darstellung der Rechenoperationen

Geometrische Darstellung der Vektoraddition

Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

Punkt + Pfeil - Darstellung:	Pfeil + Pfeil - Darstellung
An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt. In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5).	Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
Anmerkung: Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.	Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!

Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl a (Skalar) entspricht einer Streckung (für |a|>1) bzw. einer Stauchung (für |a|<1) des zugehörigen Pfeiles. Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

(Quelle dieses Applets)

Wie Vektoren zueinander stehen

Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar.

Definition

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile. Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!

Merke

2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. Man sagt auch: Die Vektoren sind linear abhängig (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge	none>250px"|	$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$	z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung	none>250px"|	$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$	z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
parallel (unterschiedliche Orientierung): gleiche Richtung	none>250px"|	$\exists kz.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$ aber auch: $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$ |- ||linear unabhängig | class="bs-ve-image" style="margin: 0.5em 0px 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 250px;" data-bs-imagename="Datei:Vektorrichtung1.png" data-bs-thumb="false" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="false" data-bs-align="" data-bs-none="true" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="250" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext=""|none>250px"|  ||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ ||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ |} [[Datei:Bsp.png|left]] für linear unabhängige Vektoren: Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$. Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander. Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten: $I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$ $II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$ Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind. ===Betrag und Einheitsvektor=== [[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet: $\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist. Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen: $\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-1-QINUcos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-2-QINU\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-3-QINU\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-4-QINU\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-5-QINUg: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-6-QINUg : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-7-QINUg: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_PUNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-8-QINU\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-9-QINU\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-10-QINU\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-11-QINU\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_bUNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-12-QINU\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-13-QINUcos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-14-QINUg: X = P + t \cdot \vec{a}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-15-QINUg : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-16-QINUg : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-17-QINU+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-18-QINU- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-19-QINUg : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-20-QINU\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel hUNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-21-QINU\begin{align} I: \ &&&s&=&2&+&t \\ II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\ III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t \end{align}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-22-QINU\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel hUNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-23-QINU\begin{align} I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\ II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\ III: \ &&&s&=&1&+&t \end{align}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-24-QINU\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-25-QINU\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-26-QINU\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-27-QINUax + by + cz = dUNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-28-QINU\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_PUNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-29-QINU\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-30-QINU\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-31-QINU\epsilon: 8x - 5y -9z =-6UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-32-QINU\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-33-QINU+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-34-QINU\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\ II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1 \end{align}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-35-QINU4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-36-QINUI: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-37-QINUg: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-38-QINU\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-39-QINUa \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = dUNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-40-QINUg: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-41-QINU1 - t - 6 - 4 -4t =8UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-42-QINU\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-43-QINUh: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-44-QINU\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-45-QINUg_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-46-QINUx - y: x-y = 0UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-47-QINU5x - 2z: 5x - 2z = -12UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-48-QINU\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-49-QINU\begin{align} I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\ II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\ III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t \end{align} \ \ \ \rightarrow u=1UNIQ2ccf96e89e1603ba-MathJax-50-QINUg_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ c) $\epsilon: z = 1$ 8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ $h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ =Beispiele= Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen: ===Grundlagen der Vektorrechnung=== [http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] [http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf] ===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$=== VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf