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Version vom 20. Mai 2016, 21:45 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen der Vektorrechnung

Grundlagen der Vektorrechnung

Koordinatensystem

Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell. Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

die x-Achse (waagrecht) und
die y-Achse (senkrecht)

Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt: An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

Punkte

In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

Punkte im $\mathbb{R^2}$

Merke

Einen allgemeinen Punkt schreibt man an als $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) bzw. $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) oder $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).

Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

A(2/0)
B(0/-2)
C(-1/2)

Vektoren

Definition

Definition

Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als Vektor aus $\mathbb{R^2}$ bezeichnet.

Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als Vektor aus $\mathbb{R^3}$ . Einen allgemeinen Vektor schreibt man an als $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$)

Vektoren kann man sich wie eine Menge von Pfeilen vorstellen. Sie besitzen eine Länge (Betrag) und eine Richtung. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

Geometrische Darstellung von Vektoren

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:

Darstellung als Punkt: Dabei gibt a die x-Koordinate und b die y-Koordinate des Punktes an.
Darstellung als Pfeil: Dabei gibt a die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und b die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an.

Ortsvektoren

Punkt und zugehöriger Ortsvektor

Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

Addition und Subtraktion von Vektoren

Merke

Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten:

$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.

Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!

$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$

$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ $\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$

Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft

"Spitze minus Schaft"

Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die "Spitze minus Schaft"-Regel
Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
$\vec{AB} = -\vec{BA}$

Produkt eines Vektors mit einem Skalar

Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer reellen Zahl $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit "$ und einmal mit $-5$!

" \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$ $(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$

(Quelle dieses Applets)

Wie Vektoren zueinander stehen

Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar.

Definition

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!

Merke

2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann.

Man sagt auch: Die Vektoren sind linear abhängig (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge	none>250px"\|	$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$	z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung	none>250px"\|	$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$	z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
parallel (unterschiedliche Orientierung): gleiche Richtung	none>250px"\|	$\exists kz.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$ aber auch: $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$ \|- \|\|linear unabhängig \| class="bs-ve-image" style="margin: 0.5em 0px 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 250px;" data-bs-imagename="Datei:Vektorrichtung1.png" data-bs-thumb="false" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="false" data-bs-align="" data-bs-none="true" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="250" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext=""\|none>250px"\| \|\|$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ \|\|z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ \|} [[Datei:Bsp.png\|left]] für linear unabhängige Vektoren: Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$. Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander. Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten: $I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$ $II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$ Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind. ===Betrag und Einheitsvektor=== [[Datei:PythagorasVektor.png\|thumb\|right\|350px\|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet: $\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist. Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen: $\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-1-QINUcos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-2-QINU\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-3-QINU\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-4-QINU\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-5-QINUg: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-6-QINUg : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-7-QINUg: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_PUNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-8-QINU\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-9-QINU\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-10-QINU\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-11-QINU\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_bUNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-12-QINU\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-13-QINUcos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-14-QINUg: X = P + t \cdot \vec{a}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-15-QINUg : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-16-QINUg : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-17-QINU+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-18-QINU- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-19-QINUg : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-20-QINU\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel hUNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-21-QINU\begin{align} I: \ &&&s&=&2&+&t \\ II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\ III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t \end{align}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-22-QINU\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel hUNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-23-QINU\begin{align} I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\ II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\ III: \ &&&s&=&1&+&t \end{align}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-24-QINU\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-25-QINU\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-26-QINU\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-27-QINUax + by + cz = dUNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-28-QINU\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_PUNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-29-QINU\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-30-QINU\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-31-QINU\epsilon: 8x - 5y -9z =-6UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-32-QINU\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-33-QINU+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-34-QINU\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\ II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1 \end{align}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-35-QINU4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-36-QINUI: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-37-QINUg: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-38-QINU\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-39-QINUa \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = dUNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-40-QINUg: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-41-QINU1 - t - 6 - 4 -4t =8UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-42-QINU\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-43-QINUh: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-44-QINU\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-45-QINUg_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-46-QINUx - y: x-y = 0UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-47-QINU5x - 2z: 5x - 2z = -12UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-48-QINU\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-49-QINU\begin{align} I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\ II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\ III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t \end{align} \ \ \ \rightarrow u=1UNIQ3eb8184f389d5bcd-MathJax-50-QINUg_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ c) $\epsilon: z = 1$ 8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ $h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ =Beispiele= Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen: ===Grundlagen der Vektorrechnung=== [http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] [http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf] ===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$=== VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf

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 ==Vektoren==
-Vektoren kann man sich wie '' eine Menge von Pfeilen'' vorstellen. Sie besitzen eine '''Länge''' (Betrag) und eine '''Richtung'''. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:
-{{Vorlage:Merke |1=''Einen'' '''allgemeinen Vektor''' ''schreibt man an als'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^3}$).
-Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.}}
+===Definition===
+{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
+Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)  \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''.
+''Einen'' '''allgemeinen Vektor''' ''schreibt man an als'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$)
+}}
+Vektoren kann man sich wie '' eine Menge von Pfeilen'' vorstellen. Sie besitzen eine '''Länge''' (Betrag) und eine '''Richtung'''. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:
+===Geometrische Darstellung von Vektoren===
+Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$  geometrisch darstellen können:
+* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt a die x-Koordinate und b die y-Koordinate des Punktes an.
+* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt a die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und b die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an.
 ===Ortsvektoren===
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-<br />
-=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
+===Addition und Subtraktion von Vektoren===
   {{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten:<br>
 $\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$<br>
 Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
 {{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
 |2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
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 {{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit "$ und einmal mit $-5$!
-|2=$2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
+|2=" \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
 $(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}
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 |-
 ||ident: gleiche Richtung,<br />gleiche Orientierung, gleiche Länge
-| class="bs-ve-image" style="margin: 0.5em 0px 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 250px;" data-bs-imagename="Datei:Vektorv1.png" data-bs-thumb="false" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="false" data-bs-align="" data-bs-none="true" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="250" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext="Datei:Vektorv1.png>none|250px"|
+| class="bs-ve-image" style="margin: 0.5em 0px 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 250px;" data-bs-imagename="Datei:Vektorv1.png" data-bs-thumb="false" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="false" data-bs-align="" data-bs-none="true" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="250" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext=""|none>250px"|
 ||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
 ||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
 |-
 ||parallel (gleiche Orientierung):<br />gleiche Richtung, gleiche Orientierung
-| class="bs-ve-image" style="margin: 0.5em 0px 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 250px;" data-bs-imagename="Datei:Vektorenlänge.png" data-bs-thumb="false" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="false" data-bs-align="" data-bs-none="true" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="250" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext="Datei:Vektorenlänge.png>none|250px"|
+| class="bs-ve-image" style="margin: 0.5em 0px 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 250px;" data-bs-imagename="Datei:Vektorenlänge.png" data-bs-thumb="false" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="false" data-bs-align="" data-bs-none="true" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="250" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext=""|none>250px"|
 ||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
 ||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
 |-
 ||parallel (unterschiedliche Orientierung):<br />gleiche Richtung
-| class="bs-ve-image" style="margin: 0.5em 0px 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 250px;" data-bs-imagename="Datei:Vektororientierung1.png" data-bs-thumb="false" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="false" data-bs-align="" data-bs-none="true" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="250" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext="Datei:Vektororientierung1.png>none|250px"|
+| class="bs-ve-image" style="margin: 0.5em 0px 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 250px;" data-bs-imagename="Datei:Vektororientierung1.png" data-bs-thumb="false" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="false" data-bs-align="" data-bs-none="true" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="250" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext=""|none>250px"|
 ||$\exists kz.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$<br />
 aber auch:<br />$\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$
 |-
 ||linear unabhängig
-| class="bs-ve-image" style="margin: 0.5em 0px 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 250px;" data-bs-imagename="Datei:Vektorrichtung1.png" data-bs-thumb="false" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="false" data-bs-align="" data-bs-none="true" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="250" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext="Datei:Vektorrichtung1.png>none|250px"|
+| class="bs-ve-image" style="margin: 0.5em 0px 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 250px;" data-bs-imagename="Datei:Vektorrichtung1.png" data-bs-thumb="false" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="false" data-bs-align="" data-bs-none="true" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="250" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext=""|none>250px"|
 ||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
 ||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$
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 =

Vektorrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 20. Mai 2016, 21:45 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Grundlagen der Vektorrechnung

Koordinatensystem

Punkte

Vektoren

Definition

Geometrische Darstellung von Vektoren

Ortsvektoren

Addition und Subtraktion von Vektoren

Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft

Produkt eines Vektors mit einem Skalar

Wie Vektoren zueinander stehen

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