Vektorrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Koordinatensystem

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell. Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

• die x-Achse (waagrecht) und
• die y-Achse (senkrecht)

Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt: An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

Punkte

In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

Merke

Einen allgemeinen Punkt schreibt man an als $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) bzw. $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) oder $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$). Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate. Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

• A(2/0)
• B(0/-2)
• C(-1/2)

Vektoren

Vektoren kann man sich wie eine Menge von Pfeilen vorstellen. Sie besitzen eine Länge (Betrag) und eine Richtung. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

Merke

Einen allgemeinen Vektor schreibt man an als $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^n}$) bzw. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^3}$). Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.

Ortsvektoren

Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

Addition und Subtraktion von Vektoren

Merke

Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: $\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.

Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft

Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die "Spitze minus Schaft"-Regel
Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

• Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
• $\vec{AB} = -\vec{BA}$

Produkt eines Vektors mit einem Skalar

Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer reellen Zahl $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)] ===Wie Vektoren zueinander stehen=== Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar. {| border ="1" cellpadding="10" | {| | '''Definition''' |- | [[Datei:Grün rufezeichen.png|center]] |} |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile. Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle! |} {| border ="1" cellpadding="10" | {| !| '''Merke''' |- | [[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]] |} |2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann.
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann). |} Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an: {| class="wikitable" |- ||ident: gleiche Richtung,
gleiche Orientierung, gleiche Länge | class="bs-ve-image" style="margin: 0.5em 0px 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 250px;" data-bs-imagename="Datei:Vektorv1.png" data-bs-thumb="false" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="false" data-bs-align="" data-bs-none="true" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="250" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext="Datei:Vektorv1.png>none|250px"|  ||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ ||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ |- ||parallel (gleiche Orientierung):
gleiche Richtung, gleiche Orientierung | class="bs-ve-image" style="margin: 0.5em 0px 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 250px;" data-bs-imagename="Datei:Vektorenlänge.png" data-bs-thumb="false" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="false" data-bs-align="" data-bs-none="true" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="250" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext="Datei:Vektorenlänge.png>none|250px"|  ||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ ||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$ |- ||parallel (unterschiedliche Orientierung):
gleiche Richtung | class="bs-ve-image" style="margin: 0.5em 0px 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 250px;" data-bs-imagename="Datei:Vektororientierung1.png" data-bs-thumb="false" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="false" data-bs-align="" data-bs-none="true" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="250" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext="Datei:Vektororientierung1.png>none|250px"|  ||$\exists kz.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$
aber auch:
$\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$ |- ||linear unabhängig | class="bs-ve-image" style="margin: 0.5em 0px 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 250px;" data-bs-imagename="Datei:Vektorrichtung1.png" data-bs-thumb="false" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="false" data-bs-align="" data-bs-none="true" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="250" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext="Datei:Vektorrichtung1.png>none|250px"|  ||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ ||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ |}

Betrag und Einheitsvektor

Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch Betrag eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

Der Einheitsvektor $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $$ \vec{a_0} =\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$ bzw. $ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$ Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt. {| border ="1" cellpadding="10" | {| !| '''Merke''' |- | [[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]] |} |Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$. |} In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten: [[Datei:Bsp.png|left]]

===Vektoren bestimmter Länge=== Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$. ==Mittelpunkt einer Strecke== [[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen: Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also: =Im $\mathbb{R^2}$= Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''. ==Vektoren== ===Normalvektoren=== [[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren. {| border ="1" cellpadding="10" | {| !| '''Merke''' |- | [[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]] |} |Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor. |} ===Skalarprodukt=== Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht. {| border ="1" cellpadding="10" | {| !| '''Merke''' |- | [[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]] |} |Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt. |} ===Winkel zwischen zwei Vektoren=== [[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$ bzw. $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$ Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$).
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium. ====Orthogonalitätskriterium==== {| border ="1" cellpadding="10" | {| !| '''Merke''' |- | [[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]] |} |Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$ |} Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Normalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir: $$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$ ==Geraden== ===Darstellungsformen=== Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden. ====Parameterdarstellung==== [[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$
wobei * $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden) * $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden * $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$) * $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.)
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen: $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$ ====Normalvektorform==== Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über: Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden). ====Allgemeine Geradengleichung==== Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten: '''1. Multiplikation mit Normalvektor:''' Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: $$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$ '''2. Elimination des Parameters:''' Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung. Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen. ===Lagebeziehungen zwischen Geraden=== Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$ * ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte * parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt * einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren.
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel.
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt! Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes. Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an: ===Normalabstand Punkt - Gerade=== [[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor: {| border ="1" cellpadding="10" | {| !| '''Merke''' |- | [[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]] |} |1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt. 2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$.
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$. |} In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen. ====Hesse'sche Abstandsformel==== Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen.
$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $,
wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist. ====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden==== [[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also:
$Q' = S + \vec{QS}$ =Im $\mathbb{R^3}$= ==Vektoren== ===Kreuzprodukt=== Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten. {| border ="1" cellpadding="10" | {| !| '''Merke''' |- | [[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]] |} |Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt $$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$ |} [[Datei:Bsp.png|left]] Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten. ====Normalvektoren==== Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$ ====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks==== [[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]]
{| border ="1" cellpadding="10" | {| !| '''Merke''' |- | [[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]] |} |Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche). Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks. |} ===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren=== Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung:

'''Skalarprodukt'''
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.

'''Orthogonalitätskriterium'''
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!) $$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$ Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.

'''Winkel zwischen zwei Vektoren''' $$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$ ==Geraden== ===Darstellungsformen=== ====Parameterdarstellung==== Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$ Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'. ====Parameterfreie Darstellungsform==== Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters. [[Datei:Bsp.png|left]] Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen! ===Lagebeziehungen zwischen Geraden=== Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$ * ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte * parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt * einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt) * windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor: '''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden. '''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade).
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen.
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen. '''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief.
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen.
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt.
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind. Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an. [[Datei:Bsp.png|left]] [[Datei:Bsp.png|left]] ==Ebenen== Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt. ===Darstellungsformen=== ====Parameterdarstellung==== [[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]] $$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$ bzw. $$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$ wobei * $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene * $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene * $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter * $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen ====Normalvektorform==== Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$ ====Allgemeine Ebenengleichung==== $$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten: '''1. Multiplikation mit Normalvektor:''' Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: $$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$ '''2. Elimination des Parameters:''' Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung. Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen: [[Datei:Bsp.png|left]] ===Lagebeziehungen=== ====...zwischen zwei Ebenen==== Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$ * ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$ * parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$ * einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

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  2 Ebenen sind ident
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  2 Ebenen sind parallel
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  2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden

'''Berechnen der Schnittgerade'''
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel: [[Datei:Bsp.png|left]] ====...zwischen 3 Ebenen==== Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$ * alle ident sein * 2 ident, 1 parallel sein * alle parallel sein * 3 Schnittgeraden haben * 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel) * 1 Schnittgerade haben * 1 Schnittpunkt haben

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  3 Ebenen sind ident
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  2 Ebenen sind ident, 1 parallel
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  3 Ebenen sind parallel
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  3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
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  3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
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  3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
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  3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
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  3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt

====...zwischen Ebene und Gerade==== Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$ * $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben. * parallel sein Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben. * 1 Schnittpunkt haben Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

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  Gerade liegt auf der Ebene
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  Gerade und Ebene sind parallel zueinander
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  Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein.
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung. Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung). Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen: $$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung): $$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$ Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene.
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel.
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden: [[Datei:Bsp.png|left]] Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen: [[Datei:Bsp.png|left]] Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen. ==Pyramidenbeispiel== [[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide. Gesucht sind: # der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche # die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe # die Fläche der Grundfläche # die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form # Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$ # Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist # Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an # Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest 1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$

2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$ $$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$ $$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$

4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$ $$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$ b) Parameter elimieren: $$x - y: x-y = 0$$ $$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$ $$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$

6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen: $$\begin{align} I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\ II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\ III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t \end{align} \ \ \ \rightarrow u=1$$ $$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$

b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$

c) $\epsilon: z = 1$

8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$

$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$