Potenz- und Polynomfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 16. März 2016, 23:35 Uhr

Potenzfunktionen - Allgemeines

Definition

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot x^n \ \ \ \textrm{mit} \ n\in \mathbb{Q} $

Wenn man den Schieberegler bewegt, kann man erkennen, dass Potenzfunktionen für verschiedene Hochzahlen n zum Teil sehr unterschiedliche Graphen liefern. Um die Eigenschaften der Potenzfunktionen genauer zu untersuchen, ist es hilfreich, die Potenzfunktionen Kategorien einzuteilen, die dieselben Eigenschaften haben:

• Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten $n \in \mathbb{N}$
  • Exponent ungerade
  • Exponent gerade

• Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten
  • Exponent ungerade
  • Exponent gerade

• Potenzfunktionen mit "echt rationalen" Exponenten - Wurzelfunktionen

Graphen von Potenzfunktionen

Je nach Größe der Parameter a und n verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=a\cdot x^n$$

Um die Bedeutung des Hochzahl n für den Funktionsgraphen zu verstehen, lassen wir vorerst den Wert von a konstant bei 1 ($f(x)=x^n$)

Potenzfunktionen mit ungeradem natürlichen Exponenten
In diesem Fall ist der Graph monoton steigend. Je größer n ist, desto mehr "schmiegt" sich die Funktion im Bereich $[-1;1]$ der x-Achse an. Im gesamten übrigen Bereich steigt die Funktion hingegen stärker. Für negative x-Werte sind auch die zugehörigen Funktionswerte negativ.Diese Potenzfunktion haben immer genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.	Potenzfunktion mit ungerader positiver Hochzahl

Potenzfunktionen mit geradem natürlichen Exponenten
In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0]$ monoton fallend und im Intervall $[0; \infty[ $ monoton steigend. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an ("Minus mal Minus ergibt Plus"). Für $n=2$ nennt man den Funktionsgraph eine Parabel (siehe Quadratische Funktionen ). Auch dieser Typ von Potenzfunktionen hat genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.	Potenzfunktion mit ungerader positiver Hochzahl

Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten

In diesem Fall ist der Graph sowohl im Intervall $] - \infty ; 0[$ monoton fallend als auch im Intervall $[0; \infty[ $ monoton fallend. Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert, was sich durch die alternative Schreibweise $f(x)=x^-n = \frac{1}{x^n}$ (siehe Potenzregeln leicht erklären lässt, da es bei $x=0$ zu einer Division durch Null kommen würde. Deshalb besteht an der Stelle $x=0$ eine sogenannte "Sprungstelle". Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der x-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen.

Potenzfunktion mit ungerader negativer Hochzahl

Potenzfunktionen mit geraden negativen Exponenten

In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0[$ monoton steigend und im Intervall $[0; \infty[ $ monoton fallend. Auch diese Funktion ist für $x=0$ nicht definiert und es gibt an der Stelle $x=0$ wiederum eine "Sprungstelle". Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an, da beispielsweise $f(x)=x^-2$ auch als $ \frac{1}{x^2}$ geschrieben werden kann und $x^2$ stets positive Werte liefert ("Minus mal Minus ergibt Plus"). Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der x-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen.

Potenzfunktion mit gerader negativer Hochzahl

Polynomfunktionen

Definition

Polynomfunktionen sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen zusammengesetzt werden. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion lautet: $$a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2} +\dots + a_1\cdot x^1 + a_0\ \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$ der höchste Exponent n gibt dabei den "Grad" des Polynoms an. Die $a_0$ ist der konstante Term (da keine Variable dabei steht) und gibt immer den Schnittpunkt mit der y-Achse an. Kurzschreibweise mit dem Summenzeichen

Beispiel:

• für eine Polynomfunktion 3. Grades (kubische Funktion): $f(x)=2\cdot x^3+x^2+3\cdot x+5$
• für eine Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion): $f(x)=x^2+2x-5$

typische Verläufe von Polynomfunktionen

Online-Übungen

? Übung zur Bestimmung des führenden Koeffizienten und des konstanten Terms