Theorie Zahlenmengen (1.1.): Unterschied zwischen den Versionen

Zahlenmengen

Was unterscheidet 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

• Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
• Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen Zahlenmengen an.

Folgenden Zahlenmengen wirst du in der Schule und im Studium begegnen:

die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$

Definition

Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$={0,1,2,3,.....}

Sie sind "abgeschlossen" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

Beispiel: $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden Summanden links als auch die Summe rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.

die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$

Definition

Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}=$ {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen einfach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z}$ ist "abgeschlossen" bezüglich der Addition und der Subtraktion.

Beispiele

• $-3+7=4$
• $ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert? Beispiel: $$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$ Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.

die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $

Definition

Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit Zähler und Nenner aus den ganzen Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben: $$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \vert\ a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$

Da man jeden Bruch in eine endliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu $\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$ oder $$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die unendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$

die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$

Definition

Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die unendlich lang UND niemals periodisch sind

Beispiele:

• $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
• $\pi =3.14159.... $
• $e =2.718...$, die eulersche Zahl
• $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von Primzahlen).

die reellen Zahlen $\mathbb{R}$

Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die

1. endlichen oder unendlich periodischen (=rationale Zahlen) und die
2. unendlichen aber niemals periodischen (irrationale Zahlen)

so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

Definition

$$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$ Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ Menge aller Dezimalzahlen

die imaginären Zahlen

Stoff der 2. Klasse

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber die Wurzel aus negativen Zahlen NICHT berechnen.

Beispiel: $ \sqrt{-1} \notin \mathbb{R} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

Definition

$\begin{align} \textrm{die imaginären Zahlen} &=& \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} \\ &=&\left\{ \sqrt{-b} \vert\ b\in \mathbb{R}^+\right\}\end{align}$

Weitere Beispiele:

• $ \sqrt{-1}=i$
• $ \sqrt{-4}=2i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den quadratischen Gleichungen auf, wenn die entsprechende Parabel keine Nullstelle hat.

die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$

$\mathbb{R}$ und die Imaginären Zahlen $=\mathbb{C}$.

Achtung! Die Abbildung gaukelt vor, dass es in $\mathbb{C}$ noch weitere Zahlen gibt außerhalb von $\mathbb{R}$ und den Imaginären Zahlen. Dies ist aber FALSCH! $\mathbb{R}$ und die Im.Zahlen füllen $\mathbb{C}$ ganz aus!

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

Definition

$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textrm{imaginäre Zahlen}$$

Setzt man also eine reelle Zahl (z.B. 5) und eine imaginäre Zahl (z.B. 7i) zusammen, so erhält man die komplexe Zahl $$5+7i$$

Beispiele

• 2 + 3i

(jede komplexe Zahl besteht aus einer reellen Zahl, dem sogenannten Realteil (hier: 2) und einer imaginären Zahl (hier 3i), wobei 3 der sogenannte Imaginärteil ist.

• -9+18i (Realteil=-9 und Imaginärteil=18)
• 4 $\ \ $ (hier ist der Imaginärteil 0)
• 8i $\ \ $(hier ist der Realteil 0)