Beschreibende Statistik: Unterschied zwischen den Versionen
(→Modus) |
(→Regression) |
||
| Zeile 355: | Zeile 355: | ||
== Regression == | == Regression == | ||
$\rightarrow$ siehe [[Regression]] | $\rightarrow$ siehe [[Regression]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | == Matura-Aufgaben == | ||
| + | |||
| + | |||
| + | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=31&file=Schiunfaelle.pdf Schiunfälle] (bifie-Aufgabe: leicht) | ||
| + | :: siehe auch [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]] | ||
| + | |||
| + | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht) | ||
| + | : Siehe auch | ||
| + | : * [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]] | ||
| + | : * [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Trigonometrie]] | ||
Version vom 3. April 2015, 09:08 Uhr
$Step\ by\ Step!$ Lernpfad beschreibende Statistik
In der beschreibenden Statistik beschäftigen wir uns mit der Auswertung von Datenmengen. Die Auswertung erfolgt dabei über graphische Darstellungsformen (Diagramme) und einzelne aussagekräftige Kennzahlen (z.B. Mittelwert, Spannweite, ...) mit denen Rückschlüsse auf Grundgesamtheit aller Daten bezogen werden können.
Inhaltsverzeichnis
Begriffe
$n...$ Umfang der Stichprobe
$x_1...$ Zahl an der 1. Stelle
$x_i...$ Zahl an der $i.$ Stelle
$\{ x_1;x_2;.....;x_n \} ...$ Stichprobe (z.B. $\{ 1;1; ;5; 5; 5; 10;\}$ )
$a_1...$ erster Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_1=1$)
$a_2...$ zweiter Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_2=5$)
$a_i...$ $i.$Wert, der in der Stichprobe vorkommt
Arten von Merkmalen/Daten
Im groben unterscheidet man zwischen 3 Arten von Merkmalen:
- nominale Merkmale können nicht sinnvoll durch eine Zahl beschrieben oder in eine Reihenfolge gebracht werden. Beispiele sind "Geschlecht", "Haarfarbe".
- ordinale Merkmale können in eine Reihenfolge gebracht werden, eignen sich aber nicht für Rechnungen (wie z.B. Addition). Beispiele sind "Platzierung bei einem Rennen", "Bildungsabschlüsse".
- metrische Merkmale können durch Zahlen beschrieben werden, mit denen man auch rechnen kann. Beispiele: "Gehalt", "Alter", "Schuhgröße".
Absolute und relative Häufigkeit
|
Die absolute Häufigkeit $H_i$ gibt an, wie oft das $i-$te Element in der Stichprobe auftritt.
z.B.: In der Menge $\{ 1;2;2;2;4;4;6\} $ ist die absolute Häufigkeit der Zahl 2 genau $H=3$, da die 2 insgesamt dreimal vorkommt |
In einer (kleinen) Umfrage werden von $n=15$ Personen die Schuhgrößen gemessen. Das Ergebnis ist in der folgenden Liste angegeben:
$$\{36;36;36;37;37;37;37;38;38;40;41;42;42;42;46\}$$
Aufgabe: Ermitteln Sie in einer Tabelle die Häufigkeit jedes Merkmals (=$a_i$).
{
| Werte $a_i$ | Häufigkeiten $H_i$ |
|---|---|
| 36 | 3 |
| 37 | 4 |
| 38 | 2 |
| 40 | 1 |
| 41 | 1 |
| 42 | 3 |
| 46 | 1 |
| Summe | 15 |
Aus der absoluten Häufigkeit kann man noch nicht darauf schließen, ob ein Merkmal wirklich häufig auftritt oder nicht, da es immer auch auf die Gesamtanzahl $n$ der untersuchten Werte ankommt.
So ist eine absolute Häufigkeit von $100$ für $n=150$ sehr groß, für $n=1$ Mrd dagegen wohl eher klein.
In solchen Fällen ist es hilfreich zu wissen, wie viel Prozent der Gesamtmenge $n$ dieses Merkmal besitzen. Dies wird berechnet mit...
|
Die relative Häufigkeit $h_i$ gibt an, mit wie viel Prozent ein Merkmal in Bezug auf die Gesamtmenge $n$ auftritt. Es gilt:
$$h_i=\frac{H_i}{n}$$ z.B.: In der Menge $\{1;2;2;2;4;4;6\}$ ist die absolute Häufigkeit der Zahl 2 genau $H=3$, die relative Häufigkeit ergibt sich dann mit: $$h=\frac{H}{n}=\frac{3}{7}\approx 43\%$$ |
Berechnen Sie mithilfe der Tabelle aus der Schuhgrößenumfrage (siehe oben) die relative Häufigkeiten $h_i$. {
| Werte $a_i$ | absolute Häufigkeiten $H_i$ | relative Häufigkeiten $h_i$ |
|---|---|---|
| 36 | 3 | $\ \ \ $ |
| 37 | 4 | |
| 38 | 2 | |
| 40 | 1 | |
| 41 | 1 | |
| 42 | 3 | |
| 46 | 1 | |
| Summe | 15 |
$n=15$ {
| Werte $a_i$ | absolute Häufigkeiten $H_i$ | relative Häufigkeiten $h_i$ |
|---|---|---|
| 36 | 3 | $\frac{3}{15}=20$% |
| 37 | 4 | $\frac{4}{15}=26.7$% |
| 38 | 2 | $\frac{2}{15}=13.3$% |
| 40 | 1 | $\frac{1}{15}=6.7$% |
| 41 | 1 | $\frac{1}{15}=6.7$% |
| 42 | 3 | $\frac{3}{15}=20$% |
| 46 | 1 | $\frac{1}{15}=6.7$% |
| Summe | 15 | $\frac{15}{15}=100$% |
Diagramme
Stab- und Balken-/Säulendiagramme
Kreisdiagramm
Boxplot (Kastenschaubild)
Schummeln mit Statistik
Rest folgt noch
Zentralmaße - statistische Kennzahlen für das Mittel
Um "das Mittel" zu berechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Dabei hat jede Vor- und Nachteile:
arithmetisches Mittel $\bar{x}$
Definition
Das arithmetische Mittel verwendest du in der Schule regelmäßig, um deine Durchschnittsnote zu berechnen. Dabei zählst du alle Noten zusammen und dividierst sie durch die Anzahl der Noten.
Z.B.: Gegeben ist die Menge an Schulnoten $\{ 1;2;2;2;5\} $. Das arithmetische Mittel (="Durchschnittsnote") ergibt: $$\rightarrow \bar{x}=\frac{1+2+2+2+5}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$
|
Das arithmetische Mittel $\bar{x}$ ist definiert als
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$ $$(Summe\ aller\ Werte,\ dividiert\ durch\ die\ Anzahl)$$ Formal: $$\bar{x}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i$$ |
Das gewichtete arithmetische Mittel
Sind bereits die absoluten oder relativen Häufigkeiten für das arithmetische Mittel bekannt, so kann auch eine der folgenden Formeln für das "gewichtete arithmetische Mittel" verwendet werden:
|
Formel mit der absoluten Häufigkeit
$$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+...}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i} a_i\cdot H_i$$ $$(Summe\ aller\ Werte\ mal\ deren\ abs.\ Häufigkeit,\ dividiert\ durch\ n)$$ |
Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der absoluten Häufigkeiten:
Gegeben sind die Notenmenge $\{ 1;2;2;2;5\} $. Zuerst erstellen wir die Häufigkeitstabelle
| Noten $a_i$ | $H_i$ | $h_i$ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | $\frac{1}{5}=20$% |
| 2 | 3 | $\frac{3}{5}=60$% |
| 5 | 1 | $\frac{1}{5}=20$% |
| $\sum$ | 5 | $\frac{5}{5}=100$% |
Setzen wir in die Formel für die absolute Häufigkeit ein, so erhalten wir
$$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+a_3\cdot H_3}{n}$$
$$\bar{x}=\frac{1\cdot 1+2\cdot 3+5\cdot 1}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$
|
Formel mit der relativen Häufigkeit
$$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+...=\sum_{i} a_i\cdot h_i $$ $$(Summe\ aller\ Werte\ mal\ deren\ rel.\ Häufigkeit)$$
|
Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der relativen Häufigkeiten:
Gegeben sind die Noten=$\{ 1;2;2;2;5\} $. Um das arithmetische Mittel zu berechnen, lesen wir die Werte sowie die relativen Häufigkeiten aus der Häufigkeitstabelle und setzen in die Formel ein:
| Noten $a_i$ | $H_i$ | $h_i$ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | $\frac{1}{5}=20$% |
| 2 | 3 | $\frac{3}{5}=60$% |
| 5 | 1 | $\frac{1}{5}=20$% |
| $\sum$ | 5 | $\frac{5}{5}=100$% |
$$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+a_3\cdot h_3=1\cdot \frac{1}{5}+2\cdot \frac{3}{5}+5\cdot \frac{1}{5}$$
$$\bar{x}=\frac{12}{5}=2.4$$
Neben dem arithmetischen Mittel gibt es nun noch einen weiteren wichtigen Zentralwert, den...
Median $\tilde{x}$
|
Sortiert man eine Datenliste nach Größe, so ist der Median $\tilde{x}$ der Wert in der Mitte der geordneten Liste
Liegen genau zwei werte in der Mitte (was immer dann der Fall ist, wenn die Anzahl der Werte $n$ gerade ist), so ist $\tilde{x}$ das arithm. Mittel dieser beiden Werte.
Formal: $\begin{align} &\tilde{x}=x_{\frac{n+1}{2} }&& \textrm{ für ungerade n}\\ &\tilde{x}=\frac{1}{2}\cdot \left(x_{\frac{n}{2} }+ x_{\frac{n+1}{2} } \right)&& \textrm{ für gerade n}\\ \end{align}$ |
Beispiel für den Median: Geben ist die folgende Liste an Schulnoten $\{1;2;2;2;5\}$. Ermitteln sie den Median $\tilde{x}$.
Lösung: Insgesamt sind es $n=5$ Werte. Da die Liste bereits nach Größe geordnet ist, können wir den Median einfach ablesen:
| durch Ablesen | $\{1;2;\color{red}{2};2;5\}$ |
| rechnerisch | $$\tilde{x}=x_{\frac{5+1}{2}}=x_3=2$$ |
Der Median $\tilde{x}$ ist der Wert an der dritten Stelle und somit $\tilde{x}=2$
Vorteil des Median - Nachteil des arithmetischen Mittels
Vergleichen wir noch einmal das arithmetische Mittel und den Median unserer Notenliste $\{1;1;2;2;2;5\}$. $$\bar{x}=2.4 \textrm{ und } \tilde{x}=2$$ Warum ist das arithmetische Mittel größer, als der Median?
Antwort: Der Grund liegt daran, dass das arithmetische Mittel durch den "Ausreißer" 5 verzerrt wurde. Der Median hat sich dadurch nicht verändert.
|
Allgemein gilt:
Hinweis: Als Ausreißer gelten Zahlen, die im Vergleich zu den anderen Werten sehr klein oder sehr groß sind |
$Aha!$ Zur besseren Verdeutlichung kannst du dir dieses Arbeitsblatt ansehen (Klicke dabei zuerst auf "Median" und "Mittelwert" und verändere dann die Zahlen).
Aufgaben zum Arbeitsblatt
- Setze "Zahl der Datenwerte" auf 5.
- Schiebe nun 4 Werte auf "1" und einen auf "4". Wie verhält sich der Median, wie der Mittelwert?
- Verteile anschließend alle 5 Werte gleichmäßig auf den Zahlengeraden.
- Nimm dann den ganz linken Wert und verschiebe ihn langsam ganz nach rechts. Beobachte dabei, wann und wie sich Median und arithmetisches Mittel verändern.
Lösungen:
1. Der Median ist der mittlere Wert aller 5 Werte und bleibt deshalb bei 1. Mittelwert dagegen liegt zwischen 1 und 4.
2. Der Median bleibt gleich, solange der zu verschiebende Wert nicht in der MItte ist. Der Mittelwert ändert seinen Wert ständig.
statistische Kennzahlen für die Streuung
Spannweite
Varianz und Standardabweichung
Quartile
Regression
$\rightarrow$ siehe Regression
Matura-Aufgaben
- $Bifie$ : Schiunfälle (bifie-Aufgabe: leicht)
- siehe auch Wachstums- und Zerfallsprozesse
- $Bifie$ : Radausflug (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
- Siehe auch
- * Wachstums- und Zerfallsprozesse
- * Trigonometrie
