Gleichungssysteme (2.7.): Unterschied zwischen den Versionen

$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94} }=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Somit ist $(23\vert 12)$ eine Lösung des Gleichungssystems

$ \begin{align} x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$

2. Schritt: Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align} x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$

3. Schritt: Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align} -2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\ 4x&+&2y&=&94& \\ \end{align}$

4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$

$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten: $$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$ Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ $= \{ (12\vert 23) \} $

$ \begin{align} I:\ \ &x+y &=& 35 \ \ \ \ \ \ \ \ \vert \ -x \\ I:\ \ &x &=&35-y \end{align}$

2. Schritt: Setze das Ergebnis in die Gleichung II ein:

$ \begin{align} II:\ \ 4\color{red}{x}&+&2y&=&94& \textrm{ }\ \ \ \ \vert I:\ \color{red}{x=(35-y)} \\ II:\ \ 4\cdot \color{red}{(35-y)}&+&2y&=&94& \end{align}$

3. Schritt: Lösen der Gleichung II (hier befindet sich nun nur noch die Variable y)

$ \begin{align} II:\ 4\cdot (35-y)+2y&=94& \\ II:\ 140-4y+2y&=94 & \\ 140-2y&=94&\ \vert -140\\ -2y&=-46&\ \vert -2)\\ y&=23 \end{align}$

Nun setzen wir $x=23$ in die umgeformte Gleichung I (siehe Schritt 1) ein und erhalten: $$ x=35-y \Rightarrow x=35-23 \rightarrow x=12$$ Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ $= \{ (12\vert 23) \} $

$\begin{align} I: x+y=35 &\vert -x &\rightarrow & & \rightarrow &\underline{I:y=-x+35} \\ \\ II:4x+2y=94 &\vert -4x &\rightarrow &2y=-4x+94 \ \ \vert :2 & \rightarrow &\underline{II:y=-2x+47} \end{align}$

2. Schritt: Einzeichnen der Geraden $y=kx+d$ (siehe Geraden zeichnen)

Der Schnittpunkt der Geraden $I:y=-x+35$ (rot) und $II:y=-2x+47$ (blau) ist $S(12\vert 23)$

3. Schritt: Ermitteln des Schnittpunktes.

Wie man aus der obigen Graphik erkennt, hat der Schnittpunkt die Koordinaten $S(12\vert 23)$. Somit lautet die Lösungsmenge $\mathbb{L}$$={(12\vert 23)}$.