Gleichungssysteme (2.7.): Unterschied zwischen den Versionen
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== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) == | == Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) == | ||
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# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts). | # Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts). | ||
# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen [[Koeffizient | Koeffizienten]] vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind. | # Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen [[Koeffizient | Koeffizienten]] vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind. | ||
# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen! | # Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen! | ||
| − | # Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung. | + | # Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.}} |
{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}} | {{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}} | ||
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| − | + | {{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrend die Lösungsmenge des Gleichungssystems: | |
| − | + | $ \begin{align} | |
| − | + | I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\ | |
| − | 1. Schritt:Umformen | + | II:\ 4x&+&2y&=&94& |
| + | \end{align}$ | ||
| + | |2= | ||
| + | 1. Schritt:Umformen auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig): | ||
$ \begin{align} | $ \begin{align} | ||
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4x&+&2y&=&94& | 4x&+&2y&=&94& | ||
\end{align}$ | \end{align}$ | ||
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$ \begin{align} | $ \begin{align} | ||
| − | x&+&y &=& 35& \textrm{ } | + | x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\ |
4x&+&2y&=&94& | 4x&+&2y&=&94& | ||
\end{align}$ | \end{align}$ | ||
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| − | 3. Schritt: Addiere oder | + | 3. Schritt: Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen: |
$ \begin{align} | $ \begin{align} | ||
| − | -2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } | + | -2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\ |
4x&+&2y&=&94& \\ | 4x&+&2y&=&94& \\ | ||
\end{align}$ | \end{align}$ | ||
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4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten: | 4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten: | ||
| − | $ \begin{align} 2x&+&0&=24 & | + | $ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$ |
$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$ | $ \begin{align} x&=&12 \end{align}$ | ||
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Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten: | Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten: | ||
$$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$ | $$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$ | ||
| − | Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12 | + | Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}} |
== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) == | == Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) == | ||
Version vom 25. August 2014, 14:47 Uhr
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Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Variablen.
Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen: $$ I: x+y=35 $$ $$ II: 2x+4y=94 $$ |
Inhaltsverzeichnis
Beispiel: $$ I: x+y=35 $$ $$ II: 2x+4y=94 $$ Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 linear unabhängige Gleichungen.
Lösungsmenge $\mathbb{L}$
Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
Zeige, dass der Punkt $(23\vert 12)$ das folgende Gleichungssystem löst:
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94} }=94 \textrm{ wahre Aussage} $$
Somit ist $(23\vert 12)$ eine Lösung des Gleichungssystems
Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:
Additionsverfahren (Eliminationsverfahren)
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Methode des Additionsverfahrens
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Bestimme mithilfe des Additionsverfahrend die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
$ \begin{align} x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$
2. Schritt: Multipliziere eine der beiden Gleichung:
$ \begin{align} x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$
3. Schritt: Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:
$ \begin{align} -2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\ 4x&+&2y&=&94& \\ \end{align}$
4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:
$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$
$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$
Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten: $$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$ Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ $= \{ (12\vert 23) \} $
Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren)
Gleichsetzungsverfahren (Komparationsverfahren)
Graphisches Verfahren
Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82)
Verfahren mit GeoGebra-CAS
Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.
