Potenzen: Unterschied zwischen den Versionen

MediaWiki:Accesskey-ca-unwatch > Ungleichung > Kurvendiskussionen > Regression > Potenzen

Aktuelle Version vom 2. Februar 2021, 18:19 Uhr

Definition
Rechnen mit Potenzen
Alle Regeln auf einen Blick
Weitere Aufgaben
Weiterführende Themenbereiche

Definition

Eine Potenz besteht aus einer Basis und einer Hochzahl, dem sogenannten Exponenten:

Aufbau einer Potenz

Beispiele:

$2^3$
$5^x$
$x^{-2}$
$c^{b+a}$

Im Folgenden sind $a,\ b,\ n,\ m,\ x,\ y\in$ $\mathbb{R}$.

Rechnen mit Potenzen

Nun wollen wir lernen mit Potenzen zu rechnen. Wie können wir zum Beispiel $\left(2^3\right)^4$ oder $\frac{x^2}{x^3}$ vereinfachen? Hierbei helfen uns die Rechenregeln für Potenzen:

Potenzregel 1

Merke

1. Regel der Potenzrechnung

Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
$$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$$

Beweis für diese Regel

$a^n\cdot a^m=\left(\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{n-mal}\right)\cdot \left(\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{m-mal}\right)$

$=\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{n+m-mal}=a^{n+m}$

Musterbeispiele

Wende die 1. Regel der Potenzrechnung an:

$x^3\cdot x^2=$

$x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5$

$2^4\cdot 2^3\cdot b^2=$

$2^4\cdot 2^3\cdot b^2=2^{4+3}\cdot b^3=2^7\cdot b^3=128\cdot b^2$

Achtung! Weiter kannst du diesen Term nicht zusammenfassen, da $2$ und $b$ unterschiedliche Basen sind.

Potenzregel 2

Merke

2. Regel der Potenzrechnung

Potenzen mit derselben Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.
$$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$

Beweis für diese Regel

Nehmen wir einfachheitshalber an, dass $n>m$ ist:

$\frac{a^n}{a^m} = \frac{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdot. . . \cdot a}^{n-mal} }{\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{m-mal} } \ \ \ \text{Hier können nun insgesamt $m$ Stück $a$ gekürzt werden.}$

$=\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a\cdot a}_{n-m-mal}=a^{n-m}$

Musterbeispiele

Wende die 1. und 2. Regel der Potenzrechnung an:

$\frac{x^3}{x^2}=$

$\frac{x^3}{x^2}=x^{3-2}=x^1=x$

$\frac{2^4\cdot 2^3}{2^5}=$

$\frac{2^4\cdot 2^3}{2^5}=2^{4+3-5}=2^2=4$

Potenzregel 3

Merke

3. Regel der Potenzrechnung

Potenzen werden potenziert („hoch-genommen“), indem man die Exponenten multipliziert.
$$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$$

Beweis für diese Regel

$\left(a^n\right)^m = \underbrace{\left(a^n\right) \cdot \left(a^n\right) \cdot . . . \cdot \left(a^n\right)}_{m-mal}$

$\overset{(Regel \ 1)}{=}$ $a^{\overbrace{n+n+. . . +n}^{m-mal} }=a^{n \cdot m}$

Musterbeispiele

Wende die 3. Regel der Potenzrechnung an:

$\left(x^3\right)^2=$

$\left(x^3\right)^2=x^{3\cdot 2}=x^6$

$\left(x^{-3}\right)^2=$

$\left(x^{-3}\right)^2=x^{-6}$

Potenzregel 4

Merke

4. Regel der Potenzrechnung

Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a$ ungleich $0$ ist. Der Term $0^0$ ist nicht definiert. Genauere Informationen zu $0^0$ findest du hier.
$$a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$$

Beweis für diese Regel

$a^0=a^{n-n} \overset{Regel \ 2}{=} \frac{a^n}{a^n} \overset{kürzen}{=} 1$

Musterbeispiele

Wende die 4. Regel der Potenzrechnung an:

$x^0=$

$x^0=1$

$12341234^0=$

$12341234^0=1$

Potenzregel 5

Merke

5. Regel der Potenzrechnung

Ein negatives Vorzeichen im Exponenten bewirkt, dass man den Kehrwert bildet.
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$ Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner, oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.
$$\frac{1}{a^{-n} }=a^n$$

Beweis für diese Regel

$a^{-n}=a^{0-n} \overset{(Regel \ 2)}{=} \frac{a^0}{a^{n} } \overset{(Regel \ 4)}{=} \frac{1}{a^n} $

Musterbeispiele

Wende die ersten 5 Regeln der Potenzrechnung an:

$\frac{x^2}{x^{-3} }=$

$\frac{x^2}{x^{-3} }\underbrace{=}_{5.\ Regel}\frac{x^2\cdot x^3}{1}\underbrace{=}_{1.\ Regel} x^5$

$\frac{x^2\cdot y^2\cdot y^{-1} }{x^{-3}\cdot y^{3} }=$

$\frac{x^2\cdot y^2\cdot y^{-1} }{x^{-3}\cdot y^{3} }=\frac{x^2\cdot x^3\cdot y^2\cdot y^{-1}\cdot y^{-3} }{1}=x^5\cdot y^{-2}$

Tipp: Oft ist es am einfachsten, alle Terme in den Zähler zu heben (mit Regel 5) und dann Regel 1 zu verwenden.

Potenzregel 6

Merke

6. Regel der Potenzrechnung

Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden Faktor mit dem Exponenten potenziert („hoch-nimmt“).
$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \ \text{und} \ \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$

Beweis für diese Regel

$(a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot . . . \cdot (a \cdot b)}_{n-mal}$

$\overset{(Vertauschungsgesetz)}{=} \underbrace{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}_{n-mal} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot . . . \cdot b}_{n-mal}$ $=a^n\cdot b^n$

Musterbeispiele

Wende die Regeln der Potenzrechnung an:

$(x\cdot y)^3=$

$(x\cdot y)^3=x^3\cdot y^3$

$(x^2\cdot y^3)^{-4}=$

$(x^2\cdot y^3)^{-4}=(x^2)^{-4}\cdot (y^3)^{-4}=x^{-8}\cdot y^{-12}$

$\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)=$

Zuerst wenden wir Regel 7 an. Zusätzlich erinnern wir uns, dass bei der Bruchrechnung dividiert wird, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird: $\frac{x^4\cdot y^6}{z^{-4} }\cdot \frac{x^2}{z^4\cdot y^{-3} }$ Nun multiplizieren wir die Brüche und wenden Regel 1-4 an: $\frac{x^4\cdot y^6\cdot x^2}{z^{-4}\cdot z^4\cdot y^{-3} } $ $\frac{x^6\cdot y^6\cdot y^{3} }{z^0}=\frac{x^6\cdot y^9}{1}=x^6\cdot y^9$

$(2x)^3-2x^3=$

$(2x)^3-2x^3=8x^3-2x^3=6x^3$

Potenzregel 7

Merke

7. Regel der Potenzrechnung

Der Wurzelexponent $n$ kann als Nenner des Exponenten angeschrieben werden.
$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$$

Beweis für diese Regel

Wurzelziehen und Potenzieren sind Umkehroperationen. Daraus folgt:

${\left(\sqrt[n]{a} \right)}^n=a$. Es gilt aber auch $\left(a^{\frac{1}{n} }\right)^n \overset{Regel 3}{=}a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a.$ Daraus folgt, dass $\sqrt[n]{a}= a^{\frac{1}{n} }$ sein muss.

Musterbeispiele

Wende die Regeln der Potenzrechnung an:

$\sqrt[3]{5}=$

$\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3} }$

$\sqrt[3]{5^{12} }=$

$\sqrt[3]{5^{12} }=5^{\frac{12}{3} }=5^{4}=625$

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }=$

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }= \frac{2}{x^{\frac{2}{3} } }= 2\cdot x^{-\frac{2}{3} }$

Zusammenfassendes Video

1.Regel	$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$	Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
2.Regel	$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$	Potenzen mit derselben Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.
3.Regel	$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$	Potenzen werden potenziert („hoch-genommen“), indem man die Exponenten multipliziert.
4.Regel	$a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$	Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a \neq 0$ ist.
5.Regel	$a^{-n}=\frac{1}{a^n} \ \text{und} \ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$	Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.
6.Regel	$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \ \text{und} \ \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} $	Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden Faktor mit dem Exponenten potenziert („hoch-nimmt“).
7.Regel	$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$	Der Wurzelexponent $n$ kann als Nenner des Exponenten angeschrieben werden.

Aufgaben von Aufgabenfuchs

Vereinfache den Term so weit wie möglich:

$\frac{\left(-x^2\cdot (-5)\cdot y^{-4}\right)^4}{\left(3\cdot x^{-5}\cdot 3\cdot y^{-4}\right) ^2}=$

Lösung:

$$\frac{\left(-x^2\cdot (-5)\cdot y^{-4}\right)^4}{\left(3\cdot x^{-5}\cdot 3\cdot y^{-4}\right) ^2}$$ Zuerst wenden wir die Regel 6 an und bringen die Zahlen ganz nach vor. Wichtig ist dabei, dass die negativen Vorzeichen in der Basis verschwinden, wenn mit einem geraden Exponenten potenziert wird, da z. B. $(-x^2)^4=(-x^2)\cdot (-x^2) \cdot (-x^2) \cdot (-x^2) =+x^8$ ist: $$\frac{(-5)^4\cdot x^8\cdot y^{-16} }{3^2\cdot 3^2\cdot x^{-10}\cdot y^{-8} }$$ Nun bringen wir alle Potenzen mit einer Variablen hinauf in den Zähler und verwenden dabei die Regel 5: $$\frac{625\cdot x^8\cdot x^{10}\cdot y^{-16}\cdot y^8 }{81}$$ Nun wenden wir Regel 1 an: $$\frac{625 \cdot x^{18}\cdot y^{-8} }{81}$$ Formen wir das noch um, ergibt sich: $$\frac{625\cdot x^{18} }{81\cdot y^{8} }$$

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
+=Definition=
 ==Definition==
 Eine Potenz besteht aus einer Basis und einer Hochzahl, dem sogenannten Exponenten:
@@ Zeile 15: / Zeile 16: @@
 Im Folgenden sind $a,\ b,\ n,\ m,\ x,\ y\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R}$]].
+=Rechnen mit Potenzen=
 ==Rechnen mit Potenzen==
-Nun wollen wir lernen mit Potenzen zu rechnen. Wie können wir zum Beispiel $(2^3)^4$ oder $\frac{x^2}{x^3}$ vereinfachen? Hierbei helfen uns die Rechenregeln für Potenzen:
+Nun wollen wir lernen mit Potenzen zu rechnen. Wie können wir zum Beispiel $\left(2^3\right)^4$ oder $\frac{x^2}{x^3}$ vereinfachen? Hierbei helfen uns die Rechenregeln für Potenzen:
+==Potenzregel 1==
-===Potenzregel 1===
 {{Vorlage:Merke|1='''1. Regel der Potenzrechnung'''
 Potenzen mit '''derselben Basis''' werden '''multipliziert''', indem man die '''Exponenten addiert'''.<br \>
@@ Zeile 30: / Zeile 32: @@
-'''Musterbeispiele:'''
+===Musterbeispiele===
-<br />
-<br />
 Wende die 1. Regel der Potenzrechnung an:
 {{Vorlage:Beispiel|1= $x^3\cdot x^2=$
@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 Achtung! Weiter kannst du diesen [[Term]] nicht zusammenfassen, da $2$ und $b$ unterschiedliche Basen sind.}}
-===Potenzregel 2===
+==Potenzregel 2==
 {{Vorlage:Merke|1='''2. Regel der Potenzrechnung'''
 Potenzen mit '''derselben Basis''' werden '''dividiert''', indem man die '''Exponenten subtrahiert'''.<br \>
 $$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$
 }}
 {{Vorlage:Ausklapp|1= Beweis für diese Regel
 |2= Nehmen wir einfachheitshalber an, dass $n>m$ ist:
@@ Zeile 56: / Zeile 55: @@
 }}
-'''Musterbeispiele:'''
+===Musterbeispiele===
-<br />
-<br />
 Wende die 1. und 2. Regel der Potenzrechnung an:
 {{Vorlage:Beispiel|1= $\frac{x^3}{x^2}=$
@@ Zeile 68: / Zeile 65: @@
 }}
-===Potenzregel 3===
+==Potenzregel 3==
 {{Vorlage:Merke|1='''3. Regel der Potenzrechnung'''
-Potenzen werden '''potenziert''' ("''hoch-genommen''"), indem man die '''Exponenten multipliziert'''.<br \>
+Potenzen werden '''potenziert''' („hoch-genommen“), indem man die '''Exponenten multipliziert'''.<br \>
 $$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$$
 }}{{Vorlage:Ausklapp|1= Beweis für diese Regel
@@ Zeile 79: / Zeile 76: @@
 }}
-'''Musterbeispiele:'''
+===Musterbeispiele===
-<br />
-<br />
 Wende die 3. Regel der Potenzrechnung an:
 {{Vorlage:Beispiel|1= $\left(x^3\right)^2=$
@@ Zeile 91: / Zeile 86: @@
 }}
-===Potenzregel 4===
+==Potenzregel 4==
 {{Vorlage:Merke|1='''4. Regel der Potenzrechnung'''
-Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a$ ungleich $0$ ist. Der Term $0^0$ ist nicht definiert. Genauere [https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29#Null_hoch_Null Informationen zu $0^0$ findest du hier].<br \>
+Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a$ ungleich $0$ ist. Der Term $0^0$ ist nicht definiert. Genauere Informationen zu $0^0$ findest du  [https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29#Null_hoch_Null hier].<br \>
 $$a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$$
 }}{{Vorlage:Ausklapp|1= Beweis für diese Regel
@@ Zeile 100: / Zeile 95: @@
 }}
+===Musterbeispiele===
-'''Musterbeispiele:'''
-<br />
-<br />
 Wende die 4. Regel der Potenzrechnung an:
 {{Vorlage:Beispiel|1= $x^0=$
@@ Zeile 113: / Zeile 105: @@
 }}
-===Potenzregel 5===
+==Potenzregel 5==
 {{Vorlage:Merke|1='''5. Regel der Potenzrechnung'''
 Ein negatives Vorzeichen im Exponenten bewirkt, dass man den [[Kehrwert]] bildet. <br \>
@@ Zeile 124: / Zeile 116: @@
 }}
-'''Musterbeispiele:'''
+===Musterbeispiele===
 <br />
 <br />
@@ Zeile 138: / Zeile 130: @@
 }}
-===Potenzregel 6===
+==Potenzregel 6==
 {{Vorlage:Merke|1='''6. Regel der Potenzrechnung'''
-Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden [[Faktor]] mit dem Exponenten potenziert (''"hoch-nimmt"'').<br \>
+Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden [[Faktor]] mit dem Exponenten potenziert („hoch-nimmt“).<br \>
 $$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n   \ \text{und} \  \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
 }}{{Vorlage:Ausklapp|1= Beweis für diese Regel
@@ Zeile 149: / Zeile 141: @@
 }}
-'''Musterbeispiele:'''
+===Musterbeispiele===
-<br />
-<br />
 Wende die Regeln der Potenzrechnung an:
 {{Vorlage:Beispiel|1= $(x\cdot y)^3=$
@@ Zeile 158: / Zeile 148: @@
 {{Vorlage:Beispiel|1= $(x^2\cdot y^3)^{-4}=$
 |2= $(x^2\cdot y^3)^{-4}=(x^2)^{-4}\cdot (y^3)^{-4}=x^{-8}\cdot y^{-12}$ }}
 {{Vorlage:Beispiel|1= $\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)=$
 |2= $\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)=$
 Zuerst wenden wir Regel 7 an. Zusätzlich erinnern wir uns, dass bei der [[Brüche |Bruchrechnung]] dividiert wird, indem mit dem [[Kehrwert]] multipliziert wird:
-$=\frac{x^4\cdot y^6}{z^{-4} }\cdot \frac{x^2}{z^4\cdot y^{-3} }$
+$\frac{x^4\cdot y^6}{z^{-4} }\cdot \frac{x^2}{z^4\cdot y^{-3} }$
 Nun multiplizieren wir die Brüche und wenden Regel 1-4 an:
 $\frac{x^4\cdot y^6\cdot x^2}{z^{-4}\cdot z^4\cdot y^{-3} } $
 $\frac{x^6\cdot y^6\cdot y^{3} }{z^0}=\frac{x^6\cdot y^9}{1}=x^6\cdot y^9$
 }}
 {{Vorlage:Beispiel|1= $(2x)^3-2x^3=$<br />|2=<br />$(2x)^3-2x^3=8x^3-2x^3=6x^3$<br />}}
-===Potenzregel 7===
+==Potenzregel 7==
 {{Vorlage:Merke|1='''7. Regel der Potenzrechnung'''
-Der Wurzelexponent $n$ kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden.<br \>
+Der Wurzelexponent $n$ kann als Nenner des Exponenten angeschrieben werden.<br \>
 $$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$$
 }}{{Vorlage:Ausklapp|1= Beweis für diese Regel
 |2=
 Wurzelziehen und Potenzieren sind Umkehroperationen. Daraus folgt:
-${\left(\sqrt[n]{a} \right)}^n=a$   Es gilt aber auch $\left(a^{\frac{1}{n} }\right)^n \overset{Regel 3}{=}a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a.$  Daraus folgt, dass $\sqrt[n]{a}= a^{\frac{1}{n} }$ sein muss.
+${\left(\sqrt[n]{a} \right)}^n=a$. Es gilt aber auch $\left(a^{\frac{1}{n} }\right)^n \overset{Regel 3}{=}a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a.$  Daraus folgt, dass $\sqrt[n]{a}= a^{\frac{1}{n} }$ sein muss.
 }}
-'''Musterbeispiele:'''
+===Musterbeispiele===
-<br />
-<br />
 Wende die Regeln der Potenzrechnung an:
 {{Vorlage:Beispiel|1= $\sqrt[3]{5}=$
@@ Zeile 196: / Zeile 181: @@
 |2= $\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }=  \frac{2}{x^{\frac{2}{3} } }=        2\cdot x^{-\frac{2}{3} }$}}
-== Zusammenfassungs-Video ==
+==Zusammenfassendes Video==
 {{Vorlage:Video|1=opJDGl_lPVE }}
-== Alle Regeln auf einen Blick ==
+= Alle Regeln auf einen Blick =
 {| class="wikitable"
 |-
-| 1. Regel|| $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$||Potenzen mit '''derselben Basis''' werden '''multipliziert''', indem man die '''Exponenten addiert'''.
+|1.Regel|| $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$||Potenzen mit '''derselben Basis''' werden '''multipliziert''', indem man die '''Exponenten addiert'''.
 |-
-| 2. Regel|| $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ || Potenzen mit '''derselben Basis''' werden '''dividiert''', indem man die '''Exponenten subtrahiert'''.
+|2.Regel|| $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ || Potenzen mit '''derselben Basis''' werden '''dividiert''', indem man die '''Exponenten subtrahiert'''.
 |-
-| 3. Regel|| $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ || Potenzen werden '''potenziert''' ("''hoch-genommen''"), indem man die '''Exponenten multipliziert'''.
+|3.Regel|| $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ || Potenzen werden '''potenziert''' („hoch-genommen“), indem man die '''Exponenten multipliziert'''.
 |-
-| 4. Regel|| $a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$ || Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a \neq 0$ ist.
+|4.Regel|| $a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$ || Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a \neq 0$ ist.
 |-
-| 5. Regel|| $a^{-n}=\frac{1}{a^n}  \ \text{und} \ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$ ||
+|5.Regel|| $a^{-n}=\frac{1}{a^n}  \ \text{und} \ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$ ||
 Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.
 |-
-| 6. Regel|| $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n   \ \text{und} \  \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ ||
+|6.Regel|| $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n  \ \text{und} \  \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} $ ||
-Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden [[Faktor]] mit dem Exponenten potenziert (''"hoch-nimmt"'').
+Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden [[Faktor]] mit dem Exponenten potenziert („hoch-nimmt“).
 |-
-| 7. Regel|| $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$ ||
+|7.Regel|| $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$ ||
-Der Wurzelexponent $n$ kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden.
+Der Wurzelexponent $n$ kann als Nenner des Exponenten angeschrieben werden.
 |}
-== Weitere Aufgaben ==
+= Weitere Aufgaben =
 * [http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/potenz/rechnen-mit-potenzen.shtml Aufgaben von Aufgabenfuchs]
 Vereinfache den Term so weit wie möglich:<br \>
 {{Vorlage:Beispiel|1=
-$\frac{\left(-x^2\cdot (-5)\cdot y^{-4}\right)^4}{\left(3\cdot x^{-5}\cdot 3\cdot y{-4}\right) ^2}=$
+$\frac{\left(-x^2\cdot (-5)\cdot y^{-4}\right)^4}{\left(3\cdot x^{-5}\cdot 3\cdot y^{-4}\right) ^2}=$
 |2= '''Lösung:'''
-$$\frac{\left(-x^2\cdot (-5)\cdot y^{-4}\right)^4}{\left(3\cdot x^{-5}\cdot 3\cdot y{-4}\right) ^2}$$
+$$\frac{\left(-x^2\cdot (-5)\cdot y^{-4}\right)^4}{\left(3\cdot x^{-5}\cdot 3\cdot y^{-4}\right) ^2}$$
 Zuerst wenden wir die Regel 6 an und bringen die Zahlen ganz nach vor. Wichtig ist dabei, dass die negativen Vorzeichen in der Basis verschwinden, wenn mit einem geraden Exponenten potenziert wird, da z. B. $(-x^2)^4=(-x^2)\cdot (-x^2) \cdot (-x^2) \cdot (-x^2) =+x^8$ ist:
-$$\frac{(-5)^4\cdot x^8\cdot y^{-16} }{3^2\cdot 9^2\cdot x^{-10}\cdot y^{-8} }$$
+$$\frac{(-5)^4\cdot x^8\cdot y^{-16} }{3^2\cdot 3^2\cdot x^{-10}\cdot y^{-8} }$$
 Nun bringen wir alle Potenzen mit einer Variablen hinauf in den Zähler und verwenden dabei die Regel 5:
 $$\frac{625\cdot x^8\cdot x^{10}\cdot y^{-16}\cdot y^8  }{81}$$
@@ Zeile 238: / Zeile 224: @@
 }}
-== Interaktiver Test ==
+= Weiterführende Themenbereiche =
+* [[Rechnen mit Termen]]
-{| border=1 align=center
+* [[Binomische Formeln]]
-! Interkativer Test
+* [[Gleichung]] und [[Äquivalenzumformungen]]
-|-
+* [[Ungleichung]]
-| <ggb_applet width="1000" height="600" version="5.0" id="ThPxqnw2" />
-|-
-| Quelle: [https://www.geogebra.org/michael.ruhrlaender Michael Ruhrländer]
-|}
-[[Kategorie:Porod 2015 5h]]
+[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]

Potenzen: Unterschied zwischen den Versionen

Widgets

Widgets

Letzte Änderungen

Gewünschte Seiten

Wer ist online?

Aktuelle Version vom 2. Februar 2021, 18:19 Uhr

Definition

Inhaltsverzeichnis

Rechnen mit Potenzen

Potenzregel 1

Musterbeispiele

Potenzregel 2

Musterbeispiele

Potenzregel 3

Musterbeispiele

Potenzregel 4

Musterbeispiele

Potenzregel 5

Musterbeispiele

Potenzregel 6

Musterbeispiele

Potenzregel 7

Musterbeispiele

Zusammenfassendes Video

Navigationsmenü

Meine Werkzeuge

Namensräume

Varianten

Ansichten

Mehr

Suche

Fokus

Besuchte Seiten

Meine Änderungen

Werkzeuge