Potenz- und Polynomfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus Matura Wiki
(→Potenzfunktionen - Allgemeines) |
|||
(25 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
= Potenzfunktionen = | = Potenzfunktionen = | ||
− | + | <br> | |
==Potenzfunktionen - Allgemeines== | ==Potenzfunktionen - Allgemeines== | ||
{{Vorlage:Definition|1= Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot x^n \ \textrm{mit} \ n\in \mathbb{Q}$. | {{Vorlage:Definition|1= Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot x^n \ \textrm{mit} \ n\in \mathbb{Q}$. | ||
Zeile 22: | Zeile 22: | ||
* '''Potenzfunktionen mit „echt rationalen“ Exponenten - Wurzelfunktionen''' | * '''Potenzfunktionen mit „echt rationalen“ Exponenten - Wurzelfunktionen''' | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
== Graphen von Potenzfunktionen == | == Graphen von Potenzfunktionen == | ||
Zeile 57: | Zeile 59: | ||
| '''Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten''' | | '''Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten''' | ||
|- | |- | ||
− | |In diesem Fall ist der Graph sowohl im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton fallend]] als auch im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert, was sich durch die alternative Schreibweise $f(x)=x^-n = \frac{1}{x^n}$ (siehe [[Potenzen (2.2.)#Potenzregel 5 |Potenzregeln]] leicht erklären lässt, da es bei $x=0$ zu einer Division durch Null kommen würde. Deshalb besteht an der Stelle $x=0$ eine sogenannte „Sprungstelle“. Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen. | + | |In diesem Fall ist der Graph sowohl im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton fallend]] als auch im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert, was sich durch die alternative Schreibweise $f(x)=x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ (siehe [[Potenzen (2.2.)#Potenzregel 5 |Potenzregeln]] leicht erklären lässt, da es bei $x=0$ zu einer Division durch Null kommen würde. Deshalb besteht an der Stelle $x=0$ eine sogenannte „Sprungstelle“. Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen. |
| [[Datei:Potenzfunktion_neg_ungerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit ungerader negativer Hochzahl]] | | [[Datei:Potenzfunktion_neg_ungerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit ungerader negativer Hochzahl]] | ||
|} | |} | ||
Zeile 66: | Zeile 68: | ||
| '''Potenzfunktionen mit geraden negativen Exponenten''' | | '''Potenzfunktionen mit geraden negativen Exponenten''' | ||
|- | |- | ||
− | |In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton steigend]] und im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Auch diese Funktion ist für $x=0$ nicht definiert und es gibt an der Stelle $x=0$ wiederum eine „Sprungstelle“. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an, da beispielsweise $f(x)=x^-2$ auch als $ \frac{1}{x^2}$ geschrieben werden kann und $x^2$ stets positive Werte liefert („Minus mal Minus ergibt Plus“). Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen. | + | |In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton steigend]] und im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Auch diese Funktion ist für $x=0$ nicht definiert und es gibt an der Stelle $x=0$ wiederum eine „Sprungstelle“. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an, da beispielsweise $f(x)=x^{-2}$ auch als $ \frac{1}{x^2}$ geschrieben werden kann und $x^2$ stets positive Werte liefert („Minus mal Minus ergibt Plus“). Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen. |
| [[Datei:Potenzfunktion_neg_gerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit gerader negativer Hochzahl]] | | [[Datei:Potenzfunktion_neg_gerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit gerader negativer Hochzahl]] | ||
|} | |} | ||
Zeile 80: | Zeile 82: | ||
|} | |} | ||
− | '''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu''' | + | '''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu.''' |
{{#widget:Iframe | {{#widget:Iframe | ||
− | |url= | + | |url= https://learningapps.org/view1521962 |
|width= 900 | |width= 900 | ||
|height= 500 | |height= 500 | ||
|border=0 | |border=0 | ||
}} | }} | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
===Bedeutung des Parameters $a$ für den Funktionsgraphen=== | ===Bedeutung des Parameters $a$ für den Funktionsgraphen=== | ||
Zeile 107: | Zeile 111: | ||
}} | }} | ||
− | '''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu''' | + | '''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu.''' |
{{#widget:Iframe | {{#widget:Iframe | ||
− | |url= | + | |url= https://learningapps.org/view1503567 |
|width= 900 | |width= 900 | ||
|height= 500 | |height= 500 | ||
|border=0 | |border=0 | ||
}} | }} | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
= Polynomfunktionen = | = Polynomfunktionen = | ||
+ | <br> | ||
== Polynomfunktionen == | == Polynomfunktionen == | ||
{{Vorlage:Definition|1= Polynomfunktionen sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten zusammengesetzt sind. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion lautet: | {{Vorlage:Definition|1= Polynomfunktionen sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten zusammengesetzt sind. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion lautet: | ||
− | $$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2} +\dots + a_1\cdot x^1 + a_0\ \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$ | + | $$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2} +\dots + a_1\cdot x^1 + a_0\ \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}, 0\leq i\leq n$$ |
oder in Kurzschreibweise: | oder in Kurzschreibweise: | ||
$$f(x)=\sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$ | $$f(x)=\sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$ | ||
Zeile 135: | Zeile 142: | ||
Das Applet zeigt, dass Polynomfunktionen sehr verschiedenartig aussehen können. Um etwas Ordnung in die „Polynoms-Vielfalt“ zu bringen, werden wir uns jeweils die wichtigsten Gemeinsamkeiten der Polynomfunktionen eines bestimmten „Grades“ genauer anschauen: | Das Applet zeigt, dass Polynomfunktionen sehr verschiedenartig aussehen können. Um etwas Ordnung in die „Polynoms-Vielfalt“ zu bringen, werden wir uns jeweils die wichtigsten Gemeinsamkeiten der Polynomfunktionen eines bestimmten „Grades“ genauer anschauen: | ||
+ | <br> | ||
===Polynomfunktionen vom Grad $1$=== | ===Polynomfunktionen vom Grad $1$=== | ||
Zeile 175: | Zeile 183: | ||
|} | |} | ||
+ | <br> | ||
===Nullstellen von Polynomfunktionen=== | ===Nullstellen von Polynomfunktionen=== | ||
Zeile 193: | Zeile 202: | ||
{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$: | {{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$: | ||
− | |||
|2= | |2= | ||
Zeile 204: | Zeile 212: | ||
Würde man den Term ausmultiplizieren und versuchen die Nullstellen des erhaltenen Polynoms (vom Grad $4$) zu berechnen, wäre das deutlich aufwändiger. | Würde man den Term ausmultiplizieren und versuchen die Nullstellen des erhaltenen Polynoms (vom Grad $4$) zu berechnen, wäre das deutlich aufwändiger. | ||
}} | }} | ||
− | |||
Zeile 218: | Zeile 225: | ||
* Vielfachheit 1: Der Linearfaktor kommt einfach vor. Bsp.: $f(x)=x \cdot (x-1) \cdot (x+2)$ hat drei Nullstellen der Vielfachheit 1 ($x_1=0, \ x_2=1, \ x_3=-2$). | * Vielfachheit 1: Der Linearfaktor kommt einfach vor. Bsp.: $f(x)=x \cdot (x-1) \cdot (x+2)$ hat drei Nullstellen der Vielfachheit 1 ($x_1=0, \ x_2=1, \ x_3=-2$). | ||
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit1.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]] | [[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit1.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]] | ||
− | * Vielfachheit 2: Ein Linearfaktor kommt doppelt („zum Quadrat“) vor. Bsp.: | + | * Vielfachheit 2: Ein Linearfaktor kommt doppelt („zum Quadrat“) vor. Bsp.: $f(x)=x \cdot (x-1)^2$ hat eine Nullstelle mit Vielfachheit 1 ($x_1=0$) und eine Nullstelle mit Vielfachheit 2 ($x_2=1$). Die Vielfachheit 2 erkennt man daran, dass die Funktion die $x$-Achse nur berührt und nicht schneidet. |
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit2.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]] | [[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit2.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]] | ||
* Vielfachheit 3: Ein Linearfaktor kommt dreifach („hoch drei“) vor. Bsp.: $f(x)=(x-1)^3$ hat genau eine Nullstelle mit Vielfachheit 3 ($x_1=1$). | * Vielfachheit 3: Ein Linearfaktor kommt dreifach („hoch drei“) vor. Bsp.: $f(x)=(x-1)^3$ hat genau eine Nullstelle mit Vielfachheit 3 ($x_1=1$). | ||
Zeile 229: | Zeile 236: | ||
</div> | </div> | ||
− | + | = Lernpfad Potenzfunktionen = | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
{{#widget:Iframe | {{#widget:Iframe | ||
Zeile 245: | Zeile 245: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | = Übungsaufgaben = |
+ | <br> | ||
+ | == Interaktive Übungen == | ||
− | {{ | + | {{Vorlage:Merke|1= Sollten die Aufgaben nicht korrekt dargestellt werden, lade die Seite noch einmal, indem du $F5$ drückst oder ganz oben im Browser auf „Aktualisieren“ |
− | + | }} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | == Quiz: Potenzfunktionen (FA 3.1-3.3) == | ||
− | |||
{{#widget:Iframe | {{#widget:Iframe | ||
− | |url= https://h5p.org/h5p/embed/ | + | |url= https://h5p.org/h5p/embed/757361 |
− | |width= | + | |width= 90% |
|height= 700 | |height= 700 | ||
|border=1 | |border=1 | ||
}} | }} | ||
+ | <br> | ||
− | == Quiz | + | == Quiz: Polynomfunktionen (FA 4.1-4.4) == |
{{#widget:Iframe | {{#widget:Iframe | ||
− | |url= https://h5p.org/h5p/embed/ | + | |url= https://h5p.org/h5p/embed/759356 |
− | |width= | + | |width= 90% |
− | |height= | + | |height= 700 |
|border=1 | |border=1 | ||
}} | }} | ||
− | + | <br> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
Tipp: Orientiere dich am Grad der Funktion, den Nullstellen und evtl. dem absoluten Glied $a_0$. | Tipp: Orientiere dich am Grad der Funktion, den Nullstellen und evtl. dem absoluten Glied $a_0$. | ||
− | + | <br> | |
− | [[ | + | [[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]] |