Potenz- und Polynomfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus Matura Wiki
(→Quiz 4 - Polynomfunktionen) |
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= Potenzfunktionen = | = Potenzfunktionen = | ||
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==Potenzfunktionen - Allgemeines== | ==Potenzfunktionen - Allgemeines== | ||
| − | {{Vorlage:Definition|1= Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot x^n \ | + | {{Vorlage:Definition|1= Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot x^n \ \textrm{mit} \ n\in \mathbb{Q}$. |
}} | }} | ||
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| − | Wenn man den Schieberegler bewegt, kann man erkennen, dass Potenzfunktionen für verschiedene Hochzahlen n zum Teil sehr unterschiedliche Graphen liefern. | + | Wenn man den Schieberegler bewegt, kann man erkennen, dass Potenzfunktionen für verschiedene Hochzahlen $n$ zum Teil sehr unterschiedliche Graphen liefern. |
Um die Eigenschaften der Potenzfunktionen genauer zu untersuchen, ist es hilfreich, die Potenzfunktionen Kategorien einzuteilen, die dieselben Eigenschaften haben: | Um die Eigenschaften der Potenzfunktionen genauer zu untersuchen, ist es hilfreich, die Potenzfunktionen Kategorien einzuteilen, die dieselben Eigenschaften haben: | ||
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** Exponent gerade | ** Exponent gerade | ||
| − | * '''Potenzfunktionen mit | + | * '''Potenzfunktionen mit „echt rationalen“ Exponenten - Wurzelfunktionen''' |
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| + | <br> | ||
== Graphen von Potenzfunktionen == | == Graphen von Potenzfunktionen == | ||
| − | Je nach Größe der [[Parameter]] a und n verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen: | + | Je nach Größe der [[Parameter]] $a$ und $n$ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen: |
$$f(x)=a\cdot x^n$$ | $$f(x)=a\cdot x^n$$ | ||
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| − | ===Bedeutung der Hochzahl n für den Funktionsgraphen=== | + | ===Bedeutung der Hochzahl $n$ für den Funktionsgraphen=== |
| − | Um die Bedeutung des Hochzahl n für den Funktionsgraphen zu verstehen, lassen wir vorerst den Wert von a konstant bei 1 ($f(x)=x^n$) | + | Um die Bedeutung des Hochzahl $n$ für den Funktionsgraphen zu verstehen, lassen wir vorerst den Wert von $a$ konstant bei $1$ ($f(x)=x^n$). |
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| '''Potenzfunktionen mit ungeraden natürlichen Exponenten''' | | '''Potenzfunktionen mit ungeraden natürlichen Exponenten''' | ||
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| − | |In diesem Fall ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. Je größer n ist, desto mehr | + | |In diesem Fall ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. Je größer $n$ ist, desto mehr „schmiegt“ sich die Funktion im Bereich $[-1;1]$ der $x$-Achse an. Im gesamten übrigen Bereich steigt die Funktion hingegen stärker. Für negative $x$-Werte sind auch die zugehörigen Funktionswerte negativ. Diese Potenzfunktionen haben immer genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$. |
|[[Datei:Potenzfunktion_pos_ungerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit ungerader positiver Hochzahl]] | |[[Datei:Potenzfunktion_pos_ungerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit ungerader positiver Hochzahl]] | ||
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| '''Potenzfunktionen mit geraden natürlichen Exponenten''' | | '''Potenzfunktionen mit geraden natürlichen Exponenten''' | ||
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| − | |In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0]$ [[Monotonie | monoton fallend]] und im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton steigend]]. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an ( | + | |In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0]$ [[Monotonie | monoton fallend]] und im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton steigend]]. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an („Minus mal Minus ergibt Plus“). Für $n=2$ nennt man den Funktionsgraph eine Parabel (siehe [[Quadratische Funktionen| Quadratische Funktionen]]). Auch dieser Typ von Potenzfunktionen hat genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$. |
| [[Datei:Potenzfunktion_pos_gerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit gerader positiver Hochzahl]] | | [[Datei:Potenzfunktion_pos_gerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit gerader positiver Hochzahl]] | ||
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| '''Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten''' | | '''Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten''' | ||
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| − | |In diesem Fall ist der Graph sowohl im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton fallend]] als auch im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert, was sich durch die alternative Schreibweise $f(x)=x^-n = \frac{1}{x^n}$ (siehe [[Potenzen (2.2.)#Potenzregel 5 |Potenzregeln]] leicht erklären lässt, da es bei $x=0$ zu einer Division durch Null kommen würde. Deshalb besteht an der Stelle $x=0$ eine sogenannte | + | |In diesem Fall ist der Graph sowohl im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton fallend]] als auch im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert, was sich durch die alternative Schreibweise $f(x)=x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ (siehe [[Potenzen (2.2.)#Potenzregel 5 |Potenzregeln]] leicht erklären lässt, da es bei $x=0$ zu einer Division durch Null kommen würde. Deshalb besteht an der Stelle $x=0$ eine sogenannte „Sprungstelle“. Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen. |
| [[Datei:Potenzfunktion_neg_ungerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit ungerader negativer Hochzahl]] | | [[Datei:Potenzfunktion_neg_ungerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit ungerader negativer Hochzahl]] | ||
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| '''Potenzfunktionen mit geraden negativen Exponenten''' | | '''Potenzfunktionen mit geraden negativen Exponenten''' | ||
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| − | |In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton steigend]] und im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Auch diese Funktion ist für $x=0$ nicht definiert und es gibt an der Stelle $x=0$ wiederum eine | + | |In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton steigend]] und im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Auch diese Funktion ist für $x=0$ nicht definiert und es gibt an der Stelle $x=0$ wiederum eine „Sprungstelle“. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an, da beispielsweise $f(x)=x^{-2}$ auch als $ \frac{1}{x^2}$ geschrieben werden kann und $x^2$ stets positive Werte liefert („Minus mal Minus ergibt Plus“). Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen. |
| [[Datei:Potenzfunktion_neg_gerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit gerader negativer Hochzahl]] | | [[Datei:Potenzfunktion_neg_gerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit gerader negativer Hochzahl]] | ||
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| − | | '''Potenzfunktionen mit | + | | '''Potenzfunktionen mit „echt rationalen“ Exponenten''' |
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|Diese Funktionen können aufgrund der Rechenregeln [[Potenzen (2.2.)#Potenzregel 7 |Potenzregeln]] auch als Wurzelfunktionen angeschrieben werden: $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n} }$. Wir beschränken uns hier auf die Diskussion der Quadratwurzelfunktion: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2} }$. | |Diese Funktionen können aufgrund der Rechenregeln [[Potenzen (2.2.)#Potenzregel 7 |Potenzregeln]] auch als Wurzelfunktionen angeschrieben werden: $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n} }$. Wir beschränken uns hier auf die Diskussion der Quadratwurzelfunktion: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2} }$. | ||
| − | Die (Quadrat-)Wurzelfunktion ist nur für $ \mathbb{R}_0^+$ definiert. Sie ist im gesamten Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton steigend]]. Die Steigung des Graphen ist am Anfang sehr groß, nimmt jedoch immer mehr ab. Die Steigung bleibt jedoch stets >0. Es gibt genau eine reelle | + | Die (Quadrat-)Wurzelfunktion ist nur für $ \mathbb{R}_0^+$ definiert. Sie ist im gesamten Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton steigend]]. Die Steigung des Graphen ist am Anfang sehr groß, nimmt jedoch immer mehr ab. Die Steigung bleibt jedoch stets $>0$. Es gibt genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$. |
| [[Datei:Quadratwurzel.png|rahmenlos|mini|450px|Quadratwurzelfunktion]] | | [[Datei:Quadratwurzel.png|rahmenlos|mini|450px|Quadratwurzelfunktion]] | ||
|} | |} | ||
| − | '''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu''' | + | '''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu.''' |
{{#widget:Iframe | {{#widget:Iframe | ||
| − | |url= | + | |url= https://learningapps.org/view1521962 |
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}} | }} | ||
| + | <br> | ||
| + | <br> | ||
| − | ===Bedeutung des Parameters a für den Funktionsgraphen=== | + | ===Bedeutung des Parameters $a$ für den Funktionsgraphen=== |
| − | Das folgende GeoGebra-Applet soll dir helfen, die Bedeutung des Parameters a zu verstehen. | + | Das folgende GeoGebra-Applet soll dir helfen, die Bedeutung des Parameters $a$ zu verstehen. |
{{Vorlage:Ausklapp|1= '''Aufgabenstellungen zum Applet''' | {{Vorlage:Ausklapp|1= '''Aufgabenstellungen zum Applet''' | ||
|2= <br> | |2= <br> | ||
| − | # Untersuche, wie sich eine Änderung des Vorzeichens des Parameters a auf den Funktionsgraphen auswirkt. Variiere dazu den Schieberegler von a. Begründe, warum sich der Graph so verändert. | + | # Untersuche, wie sich eine Änderung des Vorzeichens des Parameters $a$ auf den Funktionsgraphen auswirkt. Variiere dazu den Schieberegler von $a$. Begründe, warum sich der Graph so verändert. |
| − | # Stelle den Wert von n nun auf 1. Gib an, um welchen speziellen Funktionstyp es sich hier handelt und was der Wert von a angibt. | + | # Stelle den Wert von $n$ nun auf $1$. Gib an, um welchen speziellen Funktionstyp es sich hier handelt und was der Wert von $a$ angibt. |
| − | # Stelle den Wert von n nun auf 2. Beobachte, wie sich die Veränderung von a auf den Funktionsgraphen auswirkt. | + | # Stelle den Wert von $n$ nun auf $2$. Beobachte, wie sich die Veränderung von $a$ auf den Funktionsgraphen auswirkt. |
}} | }} | ||
<ggb_applet width="800" height="500" version="5.0" id="2971927" /> | <ggb_applet width="800" height="500" version="5.0" id="2971927" /> | ||
| − | {{Vorlage:Ausklapp|1= '''Lösungen zu den | + | {{Vorlage:Ausklapp|1= '''Lösungen zu den Aufgabenstellungen''' |
|2= <br> | |2= <br> | ||
| − | # Eine Änderung des Vorzeichens bewirkt eine Spiegelung des Funktionsgraphen. Exemplarische Begründung: Angenommen die ursprüngliche Funktion ist $f(x)= 2 \cdot x^3$. Die Vorzeichenänderung führt zur Funktionsgleichung $f(x)= -2 \cdot x^3$. Das Minus macht also nichts anderes, als das Vorzeichen eines jeden Funktionswertes | + | # Eine Änderung des Vorzeichens bewirkt eine Spiegelung des Funktionsgraphen. Exemplarische Begründung: Angenommen die ursprüngliche Funktion ist $f(x)= 2 \cdot x^3$. Die Vorzeichenänderung führt zur Funktionsgleichung $f(x)= -2 \cdot x^3$. Das Minus macht also nichts anderes, als das Vorzeichen eines jeden Funktionswertes „umzudrehen“. |
| − | # Funktionen der Form $f(x)= a \cdot x$ sind [[Lineare Funktionen|lineare Funktionen]], bei denen | + | # Funktionen der Form $f(x)= a \cdot x$ sind [[Lineare Funktionen|lineare Funktionen]], bei denen $d=0$ ist. Der Parameter $a$ gibt somit die Steigung der Geraden an. |
# Wie du sicher bemerkt hast, handelt es sich hier um einen einfachen Fall von quadratischen Funktionen. Eine ausführliche Erklärung, wie sich die Veränderung des Parameters auf den Funktionsgraphen auswirkt, findest du [[Quadratische Funktionen|hier]]. | # Wie du sicher bemerkt hast, handelt es sich hier um einen einfachen Fall von quadratischen Funktionen. Eine ausführliche Erklärung, wie sich die Veränderung des Parameters auf den Funktionsgraphen auswirkt, findest du [[Quadratische Funktionen|hier]]. | ||
}} | }} | ||
| − | '''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu''' | + | '''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu.''' |
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| − | |url= | + | |url= https://learningapps.org/view1503567 |
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}} | }} | ||
| + | <br> | ||
| + | <br> | ||
= Polynomfunktionen = | = Polynomfunktionen = | ||
| + | <br> | ||
== Polynomfunktionen == | == Polynomfunktionen == | ||
{{Vorlage:Definition|1= Polynomfunktionen sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten zusammengesetzt sind. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion lautet: | {{Vorlage:Definition|1= Polynomfunktionen sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten zusammengesetzt sind. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion lautet: | ||
| − | $$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2} +\dots + a_1\cdot x^1 + a_0\ \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$ | + | $$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2} +\dots + a_1\cdot x^1 + a_0\ \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}, 0\leq i\leq n$$ |
oder in Kurzschreibweise: | oder in Kurzschreibweise: | ||
$$f(x)=\sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$ | $$f(x)=\sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$ | ||
| − | * | + | * Der höchste Exponent $n$ gibt dabei den „Grad“ des Polynoms an. |
| − | * $a_0$ ist der konstante Term (da keine Variable dabei steht) und gibt an, in welchem Abstand vom Ursprung die y-Achse geschnitten wird. | + | * $a_0$ ist der konstante Term (da keine Variable dabei steht) und gibt an, in welchem Abstand vom Ursprung die $y$-Achse geschnitten wird. |
}} | }} | ||
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* für eine Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion): $f(x)=x^2+2x-5$ | * für eine Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion): $f(x)=x^2+2x-5$ | ||
| − | Verwende im folgenden GeoGebra- | + | Verwende im folgenden GeoGebra-Applet Schieberegler um verschiedene Polynomfunktionen zu erzeugen: |
<ggb_applet width="800" height="500" version="5.0" id="2987173" /> | <ggb_applet width="800" height="500" version="5.0" id="2987173" /> | ||
| − | Das | + | Das Applet zeigt, dass Polynomfunktionen sehr verschiedenartig aussehen können. Um etwas Ordnung in die „Polynoms-Vielfalt“ zu bringen, werden wir uns jeweils die wichtigsten Gemeinsamkeiten der Polynomfunktionen eines bestimmten „Grades“ genauer anschauen: |
| − | ===Polynomfunktionen vom Grad 1=== | + | <br> |
| + | ===Polynomfunktionen vom Grad $1$=== | ||
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| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_1 \cdot x + a_0$''' | | '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_1 \cdot x + a_0$''' | ||
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| − | |In diesem Fall ist der Graph eine [[Lineare Funktionen| lineare Funktion]]. Bei diesen Funktionen werden anstatt der Variablen $a_1$ und $a_0$ meist | + | |In diesem Fall ist der Graph eine [[Lineare Funktionen| lineare Funktion]]. Bei diesen Funktionen werden anstatt der Variablen $a_1$ und $a_0$ meist $k$ und $d$ verwendet. Genaue Details zu den Eigenschaften linearer Funktionen findest du im Kapitel [[Lineare Funktionen| lineare Funktionen]]. |
| − | '''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra- | + | '''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$, $a_3$ und $a_2$ auf Null und überzeuge dich davon, dass du stets eine lineare Funktion erhältst. |
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| − | ===Polynomfunktionen vom Grad 2=== | + | ===Polynomfunktionen vom Grad $2$=== |
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|In diesem Fall ist der Graph eine [[Quadratische Funktionen| quadratische Funktion]]. Genaue Details findest du im Kapitel [[Quadratische Funktionen| quadratische Funktionen]]. | |In diesem Fall ist der Graph eine [[Quadratische Funktionen| quadratische Funktion]]. Genaue Details findest du im Kapitel [[Quadratische Funktionen| quadratische Funktionen]]. | ||
| − | '''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra- | + | '''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$ und $a_3$ auf Null und überzeuge dich davon, dass du stets eine quadratische Funktion erhältst. Variiere nun die Schieberegler von $a_2$, $a_1$ und $a_0$ um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen. |
|} | |} | ||
| − | ===Polynomfunktionen vom Grad 3=== | + | ===Polynomfunktionen vom Grad $3$=== |
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| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $''' | | '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $''' | ||
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| − | |'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra- | + | |'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$ auf Null ($a_3 \neq 0$) um eine Polynomfunktion vom Grad drei zu erhalten. Variiere nun die Schieberegler von $a_3$, $a_2$, $a_1$ und $a_0$ um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen. |
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| − | | Polynomfunktionen vom Grad 3 haben stets mindestens eine Nullstelle. | + | | Polynomfunktionen vom Grad $3$ haben stets mindestens eine Nullstelle. |
|} | |} | ||
| − | ===Polynomfunktionen vom Grad 4=== | + | ===Polynomfunktionen vom Grad $4$=== |
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| Zeile 172: | Zeile 180: | ||
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_4 \cdot x^4 + a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $''' | | '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_4 \cdot x^4 + a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $''' | ||
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| − | |'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra- | + | |'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4 \neq 0$ um eine Polynomfunktion vom Grad vier zu erhalten. Variiere nun die Schieberegler um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen. |
|} | |} | ||
| + | <br> | ||
===Nullstellen von Polynomfunktionen=== | ===Nullstellen von Polynomfunktionen=== | ||
| − | *Die Anzahl der möglichen Nullstellen kann sehr einfach abgeschätzt werden: '''Eine Polynomfunktion vom Grad n hat maximal n Nullstellen | + | *Die Anzahl der möglichen Nullstellen kann sehr einfach abgeschätzt werden: '''Eine Polynomfunktion vom Grad $n$ hat maximal $n$ Nullstellen.''' Das heißt, dass z. B. eine Polynomfunktion vom Grad $3$ maximal $3$ reelle Nullstellen haben kann. |
| − | *Polynomfunktionen vom Grad 1, 3, 5, | + | *Polynomfunktionen vom Grad $1, 3, 5, ...$ haben stets mindestens eine reelle Nullstelle. |
| − | *Polynomfunktionen vom Grad 2, 4, 6, | + | *Polynomfunktionen vom Grad $2, 4, 6, ...$ müssen nicht unbedingt eine reelle Nullstelle haben. Es kann z. B. sein, dass bei einer Funktion vom Grad $2$ der Graph der Parabel nach oben verschoben ist (Bsp.: $f(x)=x^2+2$) und die $x$-Achse somit nicht geschnitten wird. |
| − | *Um Nullstellen einer Funktion zu berechnen muss $f(x)=0$ gesetzt werden. Bei Polynomfunktionen vom Grad 2 können die [[Quadratische Gleichungen|Lösungsformeln]] angewandt werden um die Gleichung zu lösen. | + | *Um Nullstellen einer Funktion zu berechnen muss $f(x)=0$ gesetzt werden. Bei Polynomfunktionen vom Grad $2$ können die [[Quadratische Gleichungen|Lösungsformeln]] angewandt werden um die Gleichung zu lösen. |
| − | Hat die Polynomfunktion einen höheren Grad ($n>2$), müssen spezielle Formeln angewandt oder der Grad der Funktion mithilfe einer [[Polynomdivision|Polynomdivision]] | + | Hat die Polynomfunktion einen höheren Grad ($n>2$), müssen spezielle Formeln angewandt oder der Grad der Funktion mithilfe einer [[Polynomdivision|Polynomdivision]] „heruntergedrückt“ werden. Hierzu versucht man durch geschicktes Probieren eine ganzzahlige Nullstelle zu erraten und dividiert das ursprüngliche Polynom durch die Differenz $(x-Nullstelle)$. Dadurch erhält man ein neues Polynom, das einfacher gelöst werden kann (z. B. mithilfe einer Lösungsformel). |
*Manchmal können Polynomfunktionen auch als Produkt von Linearfaktoren angegeben werden. In diesem Fall können die Nullstellen besonders einfach abgelesen werden. | *Manchmal können Polynomfunktionen auch als Produkt von Linearfaktoren angegeben werden. In diesem Fall können die Nullstellen besonders einfach abgelesen werden. | ||
'''Beispiel:''' $$f(x)=x²+x-6=(x-2) \cdot (x+3)$$ | '''Beispiel:''' $$f(x)=x²+x-6=(x-2) \cdot (x+3)$$ | ||
Berechnung der Nullstellen: $0=x²+x-6$ bzw. $0=(x-2) \cdot (x+3)$ | Berechnung der Nullstellen: $0=x²+x-6$ bzw. $0=(x-2) \cdot (x+3)$ | ||
| − | In der linken Form kann die [[Quadratische Gleichungen|kleine Lösungsformel]] eingesetzt werden, um die Nullstellen zu berechnen. Durch Einsetzen in die Formel erhält man | + | In der linken Form kann die [[Quadratische Gleichungen|kleine Lösungsformel]] eingesetzt werden, um die Nullstellen zu berechnen. Durch Einsetzen in die Formel erhält man $x_1=2, \ x_2=-3$. |
Ist die Gleichung in der rechten Form (Produkt von Linearfaktoren) gegeben, so können die Nullstellen im Kopf berechnet bzw. abgelesen werden: Damit das Produkt von $(x-2) \cdot (x+3)$ Null ergibt, muss entweder $(x-2)$ oder $(x+3)$ gleich Null sein. Hier kommen nur $x_1=2$ und $x_2=-3$ in Frage. | Ist die Gleichung in der rechten Form (Produkt von Linearfaktoren) gegeben, so können die Nullstellen im Kopf berechnet bzw. abgelesen werden: Damit das Produkt von $(x-2) \cdot (x+3)$ Null ergibt, muss entweder $(x-2)$ oder $(x+3)$ gleich Null sein. Hier kommen nur $x_1=2$ und $x_2=-3$ in Frage. | ||
{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$: | {{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$: | ||
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|2= | |2= | ||
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[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit.png|rahmenlos|mini|350px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]] | [[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit.png|rahmenlos|mini|350px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]] | ||
| − | Würde man den Term ausmultiplizieren und versuchen die Nullstellen des erhaltenen Polynoms (vom Grad 4) zu berechnen, wäre das deutlich aufwändiger | + | Würde man den Term ausmultiplizieren und versuchen die Nullstellen des erhaltenen Polynoms (vom Grad $4$) zu berechnen, wäre das deutlich aufwändiger. |
}} | }} | ||
| − | |||
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<div class="mw-collapsible-content"> | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
| − | Im | + | Im vorangegangenen Beispiel hatten wir eine Polynomfunktion vom Grad $4$, weshalb wir maximal $4$ Nullstellen erwarten können. Die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=-2$ kommen jedoch „doppelt“ vor. Man sagt dazu, dass sie die „Vielfachheit“ $2$ haben. |
| − | Woran erkennt man die | + | Woran erkennt man die „Vielfachheit“ einer Nullstelle? |
| − | * Vielfachheit 1: Der Linearfaktor kommt einfach vor. Bsp: $f(x)=x \cdot (x-1) \cdot (x+2)$ hat drei Nullstellen der Vielfachheit 1 ($x_1=0, \ x_2=1, \ x_3=-2$) | + | * Vielfachheit 1: Der Linearfaktor kommt einfach vor. Bsp.: $f(x)=x \cdot (x-1) \cdot (x+2)$ hat drei Nullstellen der Vielfachheit 1 ($x_1=0, \ x_2=1, \ x_3=-2$). |
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit1.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]] | [[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit1.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]] | ||
| − | * Vielfachheit 2: Ein Linearfaktor kommt doppelt ( | + | * Vielfachheit 2: Ein Linearfaktor kommt doppelt („zum Quadrat“) vor. Bsp.: $f(x)=x \cdot (x-1)^2$ hat eine Nullstelle mit Vielfachheit 1 ($x_1=0$) und eine Nullstelle mit Vielfachheit 2 ($x_2=1$). Die Vielfachheit 2 erkennt man daran, dass die Funktion die $x$-Achse nur berührt und nicht schneidet. |
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit2.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]] | [[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit2.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]] | ||
| − | * Vielfachheit 3: Ein Linearfaktor kommt dreifach ( | + | * Vielfachheit 3: Ein Linearfaktor kommt dreifach („hoch drei“) vor. Bsp.: $f(x)=(x-1)^3$ hat genau eine Nullstelle mit Vielfachheit 3 ($x_1=1$). |
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit3.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]] | [[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit3.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]] | ||
| − | * | + | * Auch die anderen Vielfachheiten können einfach an den Hochzahlen der Linearfaktoren erkannt werden. |
Der Begriff ''Vielfachheit'' ist etwas verwirrend, da wir eine ''doppelte'' Nullstelle graphisch nur als eine Stelle sehen. | Der Begriff ''Vielfachheit'' ist etwas verwirrend, da wir eine ''doppelte'' Nullstelle graphisch nur als eine Stelle sehen. | ||
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</div> | </div> | ||
| − | + | = Lernpfad Potenzfunktionen = | |
| − | = | + | |
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Aktuelle Version vom 1. Februar 2021, 17:20 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Potenzfunktionen - Allgemeines
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Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot x^n \ \textrm{mit} \ n\in \mathbb{Q}$. |
Wenn man den Schieberegler bewegt, kann man erkennen, dass Potenzfunktionen für verschiedene Hochzahlen $n$ zum Teil sehr unterschiedliche Graphen liefern.
Um die Eigenschaften der Potenzfunktionen genauer zu untersuchen, ist es hilfreich, die Potenzfunktionen Kategorien einzuteilen, die dieselben Eigenschaften haben:
- Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten $n \in \mathbb{N}$
- Exponent ungerade
- Exponent gerade
- Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten
- Exponent ungerade
- Exponent gerade
- Potenzfunktionen mit „echt rationalen“ Exponenten - Wurzelfunktionen
Graphen von Potenzfunktionen
Je nach Größe der Parameter $a$ und $n$ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:
$$f(x)=a\cdot x^n$$
Bedeutung der Hochzahl $n$ für den Funktionsgraphen
Um die Bedeutung des Hochzahl $n$ für den Funktionsgraphen zu verstehen, lassen wir vorerst den Wert von $a$ konstant bei $1$ ($f(x)=x^n$).
| Potenzfunktionen mit ungeraden natürlichen Exponenten | |
| In diesem Fall ist der Graph monoton steigend. Je größer $n$ ist, desto mehr „schmiegt“ sich die Funktion im Bereich $[-1;1]$ der $x$-Achse an. Im gesamten übrigen Bereich steigt die Funktion hingegen stärker. Für negative $x$-Werte sind auch die zugehörigen Funktionswerte negativ. Diese Potenzfunktionen haben immer genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$. | 
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| Potenzfunktionen mit geraden natürlichen Exponenten | |
| In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0]$ monoton fallend und im Intervall $[0; \infty[ $ monoton steigend. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an („Minus mal Minus ergibt Plus“). Für $n=2$ nennt man den Funktionsgraph eine Parabel (siehe Quadratische Funktionen). Auch dieser Typ von Potenzfunktionen hat genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$. | 
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| Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten | |
| In diesem Fall ist der Graph sowohl im Intervall $] - \infty ; 0[$ monoton fallend als auch im Intervall $[0; \infty[ $ monoton fallend. Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert, was sich durch die alternative Schreibweise $f(x)=x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ (siehe Potenzregeln leicht erklären lässt, da es bei $x=0$ zu einer Division durch Null kommen würde. Deshalb besteht an der Stelle $x=0$ eine sogenannte „Sprungstelle“. Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen. | 
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| Potenzfunktionen mit geraden negativen Exponenten | |
| In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0[$ monoton steigend und im Intervall $[0; \infty[ $ monoton fallend. Auch diese Funktion ist für $x=0$ nicht definiert und es gibt an der Stelle $x=0$ wiederum eine „Sprungstelle“. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an, da beispielsweise $f(x)=x^{-2}$ auch als $ \frac{1}{x^2}$ geschrieben werden kann und $x^2$ stets positive Werte liefert („Minus mal Minus ergibt Plus“). Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen. | 
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| Potenzfunktionen mit „echt rationalen“ Exponenten | |
| Diese Funktionen können aufgrund der Rechenregeln Potenzregeln auch als Wurzelfunktionen angeschrieben werden: $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n} }$. Wir beschränken uns hier auf die Diskussion der Quadratwurzelfunktion: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2} }$.
Die (Quadrat-)Wurzelfunktion ist nur für $ \mathbb{R}_0^+$ definiert. Sie ist im gesamten Intervall $[0; \infty[ $ monoton steigend. Die Steigung des Graphen ist am Anfang sehr groß, nimmt jedoch immer mehr ab. Die Steigung bleibt jedoch stets $>0$. Es gibt genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$. |
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Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu.
Bedeutung des Parameters $a$ für den Funktionsgraphen
Das folgende GeoGebra-Applet soll dir helfen, die Bedeutung des Parameters $a$ zu verstehen.
Aufgabenstellungen zum Applet
- Untersuche, wie sich eine Änderung des Vorzeichens des Parameters $a$ auf den Funktionsgraphen auswirkt. Variiere dazu den Schieberegler von $a$. Begründe, warum sich der Graph so verändert.
- Stelle den Wert von $n$ nun auf $1$. Gib an, um welchen speziellen Funktionstyp es sich hier handelt und was der Wert von $a$ angibt.
- Stelle den Wert von $n$ nun auf $2$. Beobachte, wie sich die Veränderung von $a$ auf den Funktionsgraphen auswirkt.
Lösungen zu den Aufgabenstellungen
- Eine Änderung des Vorzeichens bewirkt eine Spiegelung des Funktionsgraphen. Exemplarische Begründung: Angenommen die ursprüngliche Funktion ist $f(x)= 2 \cdot x^3$. Die Vorzeichenänderung führt zur Funktionsgleichung $f(x)= -2 \cdot x^3$. Das Minus macht also nichts anderes, als das Vorzeichen eines jeden Funktionswertes „umzudrehen“.
- Funktionen der Form $f(x)= a \cdot x$ sind lineare Funktionen, bei denen $d=0$ ist. Der Parameter $a$ gibt somit die Steigung der Geraden an.
- Wie du sicher bemerkt hast, handelt es sich hier um einen einfachen Fall von quadratischen Funktionen. Eine ausführliche Erklärung, wie sich die Veränderung des Parameters auf den Funktionsgraphen auswirkt, findest du hier.
Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu.
Inhaltsverzeichnis
Polynomfunktionen
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Polynomfunktionen sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten zusammengesetzt sind. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion lautet:
$$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2} +\dots + a_1\cdot x^1 + a_0\ \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}, 0\leq i\leq n$$ oder in Kurzschreibweise: $$f(x)=\sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$
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Beispiel:
- für eine Polynomfunktion 3. Grades (kubische Funktion): $f(x)=2\cdot x^3+x^2+3\cdot x+5$
- für eine Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion): $f(x)=x^2+2x-5$
Verwende im folgenden GeoGebra-Applet Schieberegler um verschiedene Polynomfunktionen zu erzeugen:
Das Applet zeigt, dass Polynomfunktionen sehr verschiedenartig aussehen können. Um etwas Ordnung in die „Polynoms-Vielfalt“ zu bringen, werden wir uns jeweils die wichtigsten Gemeinsamkeiten der Polynomfunktionen eines bestimmten „Grades“ genauer anschauen:
Polynomfunktionen vom Grad $1$
| Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_1 \cdot x + a_0$ |
| In diesem Fall ist der Graph eine lineare Funktion. Bei diesen Funktionen werden anstatt der Variablen $a_1$ und $a_0$ meist $k$ und $d$ verwendet. Genaue Details zu den Eigenschaften linearer Funktionen findest du im Kapitel lineare Funktionen.
Aufgabe: Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$, $a_3$ und $a_2$ auf Null und überzeuge dich davon, dass du stets eine lineare Funktion erhältst. |
Polynomfunktionen vom Grad $2$
| Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $ |
| In diesem Fall ist der Graph eine quadratische Funktion. Genaue Details findest du im Kapitel quadratische Funktionen.
Aufgabe: Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$ und $a_3$ auf Null und überzeuge dich davon, dass du stets eine quadratische Funktion erhältst. Variiere nun die Schieberegler von $a_2$, $a_1$ und $a_0$ um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen. |
Polynomfunktionen vom Grad $3$
| Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $ |
| Aufgabe: Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$ auf Null ($a_3 \neq 0$) um eine Polynomfunktion vom Grad drei zu erhalten. Variiere nun die Schieberegler von $a_3$, $a_2$, $a_1$ und $a_0$ um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen. |
| Polynomfunktionen vom Grad $3$ haben stets mindestens eine Nullstelle. |
Polynomfunktionen vom Grad $4$
| Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_4 \cdot x^4 + a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $ |
| Aufgabe: Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4 \neq 0$ um eine Polynomfunktion vom Grad vier zu erhalten. Variiere nun die Schieberegler um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen. |
Nullstellen von Polynomfunktionen
- Die Anzahl der möglichen Nullstellen kann sehr einfach abgeschätzt werden: Eine Polynomfunktion vom Grad $n$ hat maximal $n$ Nullstellen. Das heißt, dass z. B. eine Polynomfunktion vom Grad $3$ maximal $3$ reelle Nullstellen haben kann.
- Polynomfunktionen vom Grad $1, 3, 5, ...$ haben stets mindestens eine reelle Nullstelle.
- Polynomfunktionen vom Grad $2, 4, 6, ...$ müssen nicht unbedingt eine reelle Nullstelle haben. Es kann z. B. sein, dass bei einer Funktion vom Grad $2$ der Graph der Parabel nach oben verschoben ist (Bsp.: $f(x)=x^2+2$) und die $x$-Achse somit nicht geschnitten wird.
- Um Nullstellen einer Funktion zu berechnen muss $f(x)=0$ gesetzt werden. Bei Polynomfunktionen vom Grad $2$ können die Lösungsformeln angewandt werden um die Gleichung zu lösen.
Hat die Polynomfunktion einen höheren Grad ($n>2$), müssen spezielle Formeln angewandt oder der Grad der Funktion mithilfe einer Polynomdivision „heruntergedrückt“ werden. Hierzu versucht man durch geschicktes Probieren eine ganzzahlige Nullstelle zu erraten und dividiert das ursprüngliche Polynom durch die Differenz $(x-Nullstelle)$. Dadurch erhält man ein neues Polynom, das einfacher gelöst werden kann (z. B. mithilfe einer Lösungsformel).
- Manchmal können Polynomfunktionen auch als Produkt von Linearfaktoren angegeben werden. In diesem Fall können die Nullstellen besonders einfach abgelesen werden.
Beispiel: $$f(x)=x²+x-6=(x-2) \cdot (x+3)$$ Berechnung der Nullstellen: $0=x²+x-6$ bzw. $0=(x-2) \cdot (x+3)$ In der linken Form kann die kleine Lösungsformel eingesetzt werden, um die Nullstellen zu berechnen. Durch Einsetzen in die Formel erhält man $x_1=2, \ x_2=-3$. Ist die Gleichung in der rechten Form (Produkt von Linearfaktoren) gegeben, so können die Nullstellen im Kopf berechnet bzw. abgelesen werden: Damit das Produkt von $(x-2) \cdot (x+3)$ Null ergibt, muss entweder $(x-2)$ oder $(x+3)$ gleich Null sein. Hier kommen nur $x_1=2$ und $x_2=-3$ in Frage.
Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$:
Um die Nullstelle zu berechnen setzen wir
$$0=x^2 \cdot (x+2)^2$$
Damit das Produkt Null wird, muss entweder $x^2$ oder $(x+2)^2$ Null sein.
Somit gibt es nur zwei reelle Nullstellen: $x_1=0$ und $x_2=-2$ (siehe Abb.)
Würde man den Term ausmultiplizieren und versuchen die Nullstellen des erhaltenen Polynoms (vom Grad $4$) zu berechnen, wäre das deutlich aufwändiger.
Anmerkung zur Theorie: Vielfachheit von Nullstellen
Im vorangegangenen Beispiel hatten wir eine Polynomfunktion vom Grad $4$, weshalb wir maximal $4$ Nullstellen erwarten können. Die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=-2$ kommen jedoch „doppelt“ vor. Man sagt dazu, dass sie die „Vielfachheit“ $2$ haben. Woran erkennt man die „Vielfachheit“ einer Nullstelle?
- Vielfachheit 1: Der Linearfaktor kommt einfach vor. Bsp.: $f(x)=x \cdot (x-1) \cdot (x+2)$ hat drei Nullstellen der Vielfachheit 1 ($x_1=0, \ x_2=1, \ x_3=-2$).
- Vielfachheit 2: Ein Linearfaktor kommt doppelt („zum Quadrat“) vor. Bsp.: $f(x)=x \cdot (x-1)^2$ hat eine Nullstelle mit Vielfachheit 1 ($x_1=0$) und eine Nullstelle mit Vielfachheit 2 ($x_2=1$). Die Vielfachheit 2 erkennt man daran, dass die Funktion die $x$-Achse nur berührt und nicht schneidet.
- Vielfachheit 3: Ein Linearfaktor kommt dreifach („hoch drei“) vor. Bsp.: $f(x)=(x-1)^3$ hat genau eine Nullstelle mit Vielfachheit 3 ($x_1=1$).
- Auch die anderen Vielfachheiten können einfach an den Hochzahlen der Linearfaktoren erkannt werden.
Der Begriff Vielfachheit ist etwas verwirrend, da wir eine doppelte Nullstelle graphisch nur als eine Stelle sehen.
Interaktive Übungen
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Sollten die Aufgaben nicht korrekt dargestellt werden, lade die Seite noch einmal, indem du $F5$ drückst oder ganz oben im Browser auf „Aktualisieren“ |
Quiz: Potenzfunktionen (FA 3.1-3.3)
Quiz: Polynomfunktionen (FA 4.1-4.4)
Tipp: Orientiere dich am Grad der Funktion, den Nullstellen und evtl. dem absoluten Glied $a_0$.
