Aktuelle Version vom 28. Januar 2021, 19:06 Uhr

Zentralmaße - statistische Kennzahlen für das Mittel

Um „das Mittel“ zu berechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Dabei hat jede Vor- und Nachteile:

Arithmetisches Mittel $\bar{x}$

Definition

Das arithmetische Mittel, auch Durchschnitt oder Mittelwert genannt, ist nur bei metrisch skalierten Merkmalen anwendbar und wird berechnet, indem man alle vorhandenen Werte addiert und die Summe dieser Werte dann durch die Gesamtanzahl der Werte dividiert.

Beachte: Es gibt Merkmale in Datenlisten, die eine Berechnung des arithmetischen Mittels unmöglich machen (z. B.: Augenfarben, Güteklassen, …). Auch bei Schulnoten, genauer zur Berechnung einer „Durchschnittsnote“, wird oftmals das arithmetische Mittel fälschlicherweise herangezogen. Schulnoten sind ausschließlich ordinal skaliert, denn die Abstände zwischen den Noten sind nicht genauer definiert.

Beispiel: Bei einem Test erzielten $5$ Teilnehmer*innen folgende Punktezahlen: $\{ 1;2;2;2;5\}$. Das arithmetische Mittel (= „Durchschnittspunktezahl“) ergibt: $$\bar{x}=\frac{1+2+2+2+5}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$

Definition

Das arithmetische Mittel $\bar{x}$ ist definiert als $$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$ $$(\text{Summe aller Werte dividiert durch die Gesamtanzahl})$$ Formal mithilfe des Summenzeichens: $$\bar{x}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i$$

Idee des arithmetischen Mittels als Schwerpunkt

Das gewichtete arithmetische Mittel

Sind bereits die absoluten oder relativen Häufigkeiten für das arithmetische Mittel bekannt, so kann auch eine der folgenden Formeln für das „gewichtete arithmetische Mittel“ verwendet werden:

Merke

Formel mit der absoluten Häufigkeit $$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+...}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i} a_i\cdot H_i$$ $$(\text{Summe aller Werte mal deren absolute Häufigkeit dividiert durch die Gesamtanzahl})$$

Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der absoluten Häufigkeiten:

Gegeben sind die folgenden Punktezahlen: $\{ 1;2;2;2;5\} $. Zuerst erstellen wir die Häufigkeitstabelle:

Merke

Formel mit der relativen Häufigkeit $$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+...=\sum_{i} a_i\cdot h_i $$ $$(\text{Summe aller Werte mal deren relative Häufigkeit})$$ Wichtig: Eine fast identische Formel wird später wieder für den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable verwendet.

Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der relativen Häufigkeiten:

Gegeben sind die Punktezahlen $\{ 1;2;2;2;5\} $. Um das arithmetische Mittel zu berechnen, lesen wir die Werte sowie die relativen Häufigkeiten aus der Häufigkeitstabelle und setzen in die Formel ein:

Zusammenfassung

Welche Formel verwende ich für $\bar{x}$?

Ist Folgendes gegeben ... ... verwende ich diese Formel absolute Häufigkeiten $H_i$ $$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+...}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i} a_i\cdot H_i$$ relative Häufigkeiten $h_i$ $$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+...=\sum_{i} a_i\cdot h_i $$ weder $H_i$ noch $h_i$ $$\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$

Neben dem arithmetischen Mittel gibt es nun noch einen weiteren wichtigen Zentralwert, den ...

Median $Q_2$ ($=$ mittleres oder 2. Quartil)

Definition

Sortiert man eine Datenliste der Größe nach, so ist der Median $Q_2$ der Wert in der Mitte der geordneten Liste. Liegen genau zwei Werte in der Mitte (was immer dann der Fall ist, wenn die Anzahl der Werte $n$ gerade ist), so ist $Q_2$ das arithmetische Mittel dieser beiden Werte. Formal: $\begin{align} &Q_2=x_{\frac{n+1}{2} }&& \textrm{ für ungerade $n$}\\ &Q_2=\frac{1}{2}\cdot \left(x_{\frac{n}{2} }+ x_{\frac{n}{2}+1 } \right)&& \textrm{ für gerade $n$}\\ \end{align}$

Beispiel für den Median

Gegeben ist die folgende Liste an Punktezahlen: $\{1;2;2;2;5\}$. Ermitteln Sie den Median $Q_2$.

Lösung: Insgesamt sind es $n=5$ Werte. Da die Liste bereits nach Größe geordnet ist, können wir den Median einfach ablesen:

Antwort: Der Median $Q_2$ ist der Wert an der dritten Stelle und somit $Q_2=2$.

$Aha!$ $\ $ Mithilfe dieses Applets kannst du die wichtigsten Eigenschaften des arithmetischen Mittels (Mittelwert) und des Medians noch einmal überprüfen.

Vorteil des Medians - Nachteil des arithmetischen Mittels

Vergleichen wir noch einmal das arithmetische Mittel und den Median unserer Liste $\{1; 2; 2; 2; 5\}$. $$\bar{x}=2.4 \textrm{ und } Q_2=2$$ Warum ist das arithmetische Mittel größer als der Median?

Antwort: Der Grund liegt darin, dass das arithmetische Mittel durch den „Ausreißer“ $5$ verzerrt wurde. Der Median hat sich dadurch nicht verändert.

Merke

Allgemein gilt: Das arithmetische Mittel $\bar{x}$ kann durch einzelne Ausreißer stark beeinflusst werden. Der Median $Q_2$ wird davon in der Regel nicht beeinflusst. Hinweis: Als Ausreißer gelten Zahlen, die im Vergleich zu den anderen Werten sehr klein oder sehr groß sind.

$Aha!$ $\ $ Zur besseren Verdeutlichung kannst du dir dieses Arbeitsblatt ansehen (klicke dabei zuerst auf „Median“ und „Mittelwert“ und verändere dann die Zahlen).

Modus/Modalwert

Definition

Der Modus (auch Modalwert genannt) ist der häufigste Wert in einer Datenreihe (d. h. jener Wert mit der größten absoluten Häufigkeit). Beispiel: Gegeben ist die Datenreihe $\{1; 2; 2; 2; 5\}$. Dann ist der Modus gleich $2$, da $2$ mit einer absoluten Häufigkeit von $H=3$ erscheint.

Geometrisches Mittel

Das Geometrische Mittel wird verwendet, um einen „durchschnittlichen Faktor“ zu ermitteln. So kann damit beispielsweise der durchschnittliche Wachstumsfaktor oder die durchschnittliche Verzinsung berechnet werden.

Definition

Sind $r_1,\ ...,\ r_5$ verschiedene Wachstumsfaktoren, dann ist $$\bar{x}_{geo}=\sqrt[n]{r_1\cdot r_2\cdot r_3\dots r_n}$$ der durchschnittliche Wachstumsfaktor. Das Geometrische Mittel $\bar{x}_{geo}$ ist die $n$-te Wurzel aller $n$ Faktoren.