Konfidenzintervall: Unterschied zwischen den Versionen

Problemstellungen

Im Folgenden unterscheiden wir zwei Fragestellungen:

1) Von der Gesamtheit auf die Stichprobe - Schätzbereich

Die zugrundeliegende Erfolgswahrscheinlichkeit der Gesamtheit $p$ und der Stichprobenumfang $n$ sind bekannt. Es sei $H$ die absolute Häufigkeit der Partei-A-Wähler in der Stichprobe. Es soll ein $\gamma$-Schätzbereich ermittelt werden.

Definition

$\gamma$-Schätzbereich Das symmetrisch um $p$ liegende Intervall, welches die unbekannte relative Häufigkeit $h$ mit der Wahrscheinlichkeit (Sicherheit) $\gamma$ enthält, heißt $\gamma$-Schätzbereich.

Im Beispiel mit $n=100$ und $p=0.405$ soll ein $90\%$-Schätzbereich um den Erwartungswert $\mu$ ermittelt werden. Wegen $n\cdot p\cdot (1-p) > 9$ darf die Binomialverteilung näherungsweise durch eine Normalverteilung ersetzt werden.

Zunächst ermitteln wir den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$:
$\mu=n\cdot p=100\cdot 0.405=40.5$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\approx 4.91$

Für einen $90\%$-Schätzbereich um $\mu$ gilt:
$P(x_{min}\leq H \leq x_{max})=0.9$

Zur Ermittlung der gesuchten Intervallgrenzen $x_{min}$ und $x_{max}$ verwenden wir nun zwei Eigenschaften des Graphen der Dichtefunktion:
1) Die gesamte Fläche unterhalb der Dichtefunktion ist $1$, sie entspricht also $100\%$.
2) Die Glockenkurve ist symmetrisch zum Erwartungswert $\mu$.

Aus den genannten Eigenschaften folgt, dass die beiden Flächenstücke links und rechts von der blau markierten Fläche jeweils $5\%$ einnehmen.
Mithilfe von Technologieeinsatz können wir somit die beiden Intervallgrenzen $x_{min}$ und $x_{max}$ ermitteln:
$P(H\leq x_{min})=0.05 \Rightarrow \boldsymbol{x_{min}\approx 32 }$

Da die beiden Werte symmetrisch zum Erwartungswert liegen, muss auch deren Abstand derselbe sein. Der Abstand von $x_{min}$ zum Erwartungswert $\mu$ beträgt $\mu-x_{min}=40.5-32.42=8.08$. Daraus resultiert
$\boldsymbol{x_{max}=\mu + 8.08=48.58 \approx 49 }$

$\textbf{Die Anzahl der in der Stichprobe für die Partei A abgegebenen Stimmen wird mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit zwischen $32$ und $49$ liegen, wobei $32$ nicht unter- und $49$ nicht überschritten wird.}$

Alternativ erhält man als $\gamma$-Schätzbereich für die relative Häufigkeit $h$ in einer Stichprobe näherungsweise

$h\approx\left[p-z\cdot \sqrt{\left(\frac{p\cdot (1-p)}{n}\right)}; p+z\cdot \sqrt{\left(\frac{p\cdot (1-p)}{n}\right)}\right] \qquad$ mit $\quad 2 \Phi(z)-1\approx \gamma \qquad$ (siehe Formelsammlung)
$n$ … Stichprobenumfang
$h$ ... unbekannte relative Häufigkeit in einer Stichprobe
$p$ ... relativer Anteil in der Grundgesamtheit
$\gamma$ ... Wahrscheinlichkeit


Für die Berechnung von $0.90$- bzw. $0.95$- bzw. $0.99$-Schätzbereichen kann man sich merken:

$\textbf{Hinweis:}$ Bei anderen Konfidenzniveaus – welche in der Regel im Schulgebrauch nicht vorkommen – muss für die Ermittlung des Verteilungswerts $z$ die Tabelle der Standardnormalverteilung herangezogen werden.
Auf das Beispiel angewendet erhält man somit
$p\approx \left[0.405-1.645\cdot\sqrt{\left(\frac{0.405\cdot (1-0.405)}{100}\right) }; 0.405-1.645\cdot\sqrt{\left(\frac{0.405\cdot (1-0.405)}{100}\right)}\right]$
$h\approx[0.324; 0.486]\Rightarrow H\approx \boldsymbol{[32; 49]}$

Eine weitere Möglichkeit zur Ermittlung des gesuchten $90\%$-Schätzbereichs bietet GeoGebra im CAS-Modus mit dem Befehl $\textit{GaußAnteilSchätzer( <Stichprobenanteil>, <Stichprobengröße>, <Signifikanzniveau> )}:
[[Datei:Wahrscheinlichkeit4.png|left|200px|GeoGebra-GaußAnteilSchätzer]]
'''Anmerkung:''' Neben obigem Beispiel zum $\gamma$-Schätzbereich lassen sich noch zwei weitere, durchaus relevante Typen von Fragestellungen formulieren:
1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter einer Stichprobe von $100$ zufällig ausgewählten Stimmzetteln zwischen $32$ und $49$ Partei-A-Wähler? ($n$ und Intervall gegeben, $\gamma$ gesucht)
2) Wie viele Stimmzettel muss man zufällig auswählen, damit man mit $90 \%iger Wahrscheinlichkeit zwischen $32$ und $49$ Partei-A-Wähler in der Stichprobe hat? ($\gamma$ und Intervall gegeben, $n$ gesucht)

2) Von der Stichprobe auf die Gesamtheit - Konfidenzintervall

Die zugrundeliegende Erfolgswahrscheinlichkeit der Gesamtheit ist nicht bekannt. Sie muss aus der relativen Häufigkeit der Stichprobe geschätzt werden.

Definition

$\gamma$-Konfidenzintervall (Sicherheits- bzw. Vertrauensintervall) Die Menge aller Schätzwerte für $p$, deren zugehörige $\gamma$-Schätzbereiche den in der Stichprobe beobachteten Wert $h$ überdecken, heißt Konfidenzintervall mit Sicherheit $\gamma$ ($\gamma$-Konfidenzintervall oder Vertrauensintervall zum Konfidenzniveau $\gamma$) für den unbekannten relativen Anteil $p$.

Es soll nun ein $90\%$-Konfidenzintervall, also ein Schätzbereich, der mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\%$ den gesuchten wahren Wert beinhaltet, für den relativen Anteil $p$ in der Grundgesamtheit ermittelt werden.
Analog zum $\gamma$-Schätzbereich ist die Näherungsformel zur Bestimmung des $\gamma$-Konfidenzintervalls für den relativen Anteil $p$ in der Grundgesamtheit ausreichend. Es gilt:
$ p\approx \left[h-z\cdot\sqrt{\left(\frac{h\cdot (1-h)}{n}\right) }; h+z\cdot \sqrt{ \left(\frac{h\cdot (1-h)}{n}\right) } \right] \qquad $

mit $\quad 2 \Phi(z)-1\approx \gamma \qquad$ (siehe Formelsammlung)
$n$ … Stichprobenumfang
$h$ ... relative Häufigkeit in einer Stichprobe
$p$ ... unbekannter relativer Anteil in der Grundgesamtheit
$\gamma$ ... Konfidenzniveau (Vertrauens- bzw. Sicherheitsniveau)

Auch für die Berechnung von $0.90$- bzw. $0.95$- bzw. $0.99$-Konfidenzintervallen gilt:

Auf das Beispiel angewendet erhält man somit mit $n=100; h=\frac{44}{100}=0.44$ und $z=1.645$ für

$p\approx \left[0.44-1.645\cdot\sqrt{\left(\frac{0.44\cdot (1-0.44)}{100}\right)}; 0.44-1.645\cdot\sqrt{\left(\frac{0.44\cdot (1-0.44)}{100}\right)}\right]$
$\boldsymbol{p\approx[0.358; 0.522]}$
$\textbf{In der Gesamtheit wird der Anteil der Stimmen für die Partei A mit der Wahrscheinlichkeit $0.90$ ungefähr im Intervall $[0.36;0.52]$ liegen.}$

Auch hier kann zur Ermittlung des gesuchten $90\%$-Konfidenzintervalls der GeoGebra-Befehl $\textit{GaußAnteilSchätzer( <Stichprobenanteil>, <Stichprobengröße>, <Signifikanzniveau> )}$ verwendet werden:

Merke

Wichtige Eigenschaften: Je größer (höher) die vorgegebene Wahrscheinlichkeit $\gamma$, desto breiter (größer) der Schätzbereich (desto ungenauer die Schätzung). Je größer (höher) die gewünschte Sicherheit $\gamma$, desto breiter (größer) das $\gamma$-Konfidenzintervall für $p$ (desto ungenauer die Schätzung). Je größer der Stichprobenumfang $n$ (bei gleichem relativen Anteil $p$), desto schmaler (kleiner) ist das Konfidenzintervall (desto genauer ist die Schätzung) Beachte: Alle Aussagen lassen sich selbstverständlich auch umkehren. Beispielsweise gilt: Je schmaler (kleiner) das Konfidenzintervall, desto geringer ist seine Sicherheit $\gamma$.