Wachstums- und Zerfallsprozesse: Unterschied zwischen den Versionen

a) $N_0=100$; $a=(1+\frac{6.5}{100})=1.065 \ \ \rightarrow$ $\underline{\underline{N(t)=100\cdot 1.065^t}}$

b)

• $N_0=100$
• $a=1.065$
• $N(t)=200$
• $t=$?

Bestimmung der Verdoppelungszeit

$$200=100\cdot 1.065^t$$ $$2=1.065^t |\log$$ $$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$ $$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$ $$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c) Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b) Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir: $$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$ $$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$ $$ 2=1.14^t \ \ \ |\log ( \ )$$ Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$ ist! Dies kam auch schon im 1. Musterbeispiel vor. $$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$ $$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$ $$\underline{\underline{t=5.29}}$$ A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein: $$N(t)=N_0\cdot a^t$$ $$N(17)=N_0\cdot a^{17}$$ $$2\cdot N_0=N_0\cdot a^{17} \ \ \ |:N_0$$ $$2=a^{17} \ \ \ |\sqrt[17]{\ \ \ }$$ $$\sqrt[17]{2}=a$$ $$\underline{\underline{a=1.0416}}$$ A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Tag 4.16 % dazu kommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Tagen zu einer Verdoppelung gekommen ist. Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:

• nach $2\cdot 17=34$ Tagen kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
• Nach $3\cdot 17=51$ Tagen kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)

Somit dauert es 51 Tagen. Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

1. Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: exponentiell mit $a=1.05$
2. Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: linear mit $k=4$ cm
3. Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: exponentiell mit $a=1.2$
4. Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: linear mit $k=1$ cm
5. Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. exponentiell mit $a=1.03$
6. Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme

a) $a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b) Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$ $$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$ $$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$ $$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$ $$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$ $$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann $\lambda$ bestimmt werden: $$0.96=e^{-\lambda}$$ $$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$ $$-\ln 0.96=\lambda$$ $$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form: $$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d) Gefragt ist, wann $$N(t)=1 \textrm{% von }N_0$$ ist. Formulieren wir dies noch "mathemtischer", so erhalten wir: $$N(t)=0.01\cdot N_0$$ Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formel man nimmt), so erhält man: $$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$ $$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$ $$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$ $$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$ $$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$ $$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.