Kurvendiskussionen: Unterschied zwischen den Versionen

[+/-]

Widgets

Widgets

Gewünschte Seiten
  • Keine Informationen verfügbar
Wer ist online?
  • Es ist niemand angemeldet.
Aus Matura Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Nullstelle)
(→‎Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte)
Zeile 63: Zeile 63:
 
{{:Nullstelle}}
 
{{:Nullstelle}}
  
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 
== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==
 
== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==
 +
 +
[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|350px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen $x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
 +
{| border ="1"
 +
| '''Definition:'''
 +
 +
| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.
 +
 +
 +
 +
'''Formale Definition''':
 +
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)
 +
 +
|}
 +
 +
 +
 +
Wie am Graphen in der rechten Abbildung gut erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''. Somit gilt $f'(x)=0$
 +
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).
 +
 +
Somit erhalten wir...
 +
 +
=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
 +
{| border="1" align="center"
 +
|
 +
{|
 +
|
 +
* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)\ge 0\ \ \ \  \Rightarrow\ \ \ \ $
 +
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
 +
|-
 +
|
 +
|-
 +
|
 +
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)\le 0\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ $
 +
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f
 +
|}
 +
|}

Version vom 9. Februar 2014, 13:19 Uhr

Überblick und Einleitung

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:

  • Nullstellen
  • Extremwerte
  • Krümmungsverhalten und Wendepunkte




Grundwissen über f(x), f'(x) und f''(x)

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

$f(x)$ $f'(x)$ $f''(x)$
Gibt an ... den Funktionswert an der Stelle x die Steigung von f an der Stelle x die Krümmung von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)
physikalische Interpretation Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm

oder Höhe eines Objektes etc.

momentane Änderungsrate/Geschwindigkeit an der Stelle x Beschleunigung an der Stelle x
wenn $>0$ Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend. $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.
wenn $<0$ Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend. Die Entfernung nimmt ab. $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)

Die Steigung nimmt ab.

wenn $=0$ Nullstelle Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein Extremum. Möglicherweise befindet sich hier ein Wendepunkt.





Nullstellen

Nullstelle




Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte

Im Graphen sind die beiden Extremstellen $x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.
Definition: Lokale Extremstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen Hoch- oder Tiefpunkt hat.


Formale Definition: Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)


Wie am Graphen in der rechten Abbildung gut erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt steigt f nicht und fällt f nicht. Somit gilt $f'(x)=0$ Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt linksgekrümmt (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt rechtsgekrümmt (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...

Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum

  • $f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)\ge 0\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ $
$x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
  • $f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)\le 0\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ $
$x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f
Von „https://3.vobs.at/maturawiki/index.php?title=Kurvendiskussionen&oldid=694“