Trigonometrie: Unterschied zwischen den Versionen
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* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/dreiecke.htm Aufgaben zum allgemeinen Dreieck von Jutta Gut (samt Lösungen)] | * [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/dreiecke.htm Aufgaben zum allgemeinen Dreieck von Jutta Gut (samt Lösungen)] | ||
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Version vom 11. August 2016, 08:27 Uhr
- Was lernst du hier?
- Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck
- Vermessungsaufgaben
- Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis
- Trigonometrische Funktionen
- Das allgemeine Dreieck - Sinussatz und Cosinussatz
- Formelsammlung
- Matura-Aufgaben
In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)
Die folgende Seite ist in 5 Theorieabschnitte gegliedert, die das Lernen erleichtern sollen:
- Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck: Hier lernst du die Grundbegriffe und Grundrechnungen kennen.
- Vermessungsaufgaben, in denen du das Gelernte in Anwendungsbeispielen verwenden kannst.
- Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis: In diesem Abschnitt lernst du das Bogenmaß und den Einheitskreis kennen.
- Trigonometrische Funktionen: Hier lernst du die typischen Graphen der Sinus-, Cosinus und Tangensfunktion kennen.
- Das allgemeine Dreieck, indem du lernst, in Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben, zu rechnen.
Die letzten beiden Kapitel bestehen aus einer Zusammenfassung der hier verwendeten Formeln und Matura-Aufgaben
Inhaltsverzeichnis
Begriffe
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (= Dreieck mit einem 90°-Winkel).
- Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heißt Hypotenuse. Sie ist IMMER gegenüber vom rechten Winkel.
- Die beiden kürzere Seiten heißen Katheten. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
- * die Gegenkathete GK liegt $\beta$ gegenüber
- * die Ankathete AK liegt an $\beta$ an.
Sinus, Cosinus und Tangens
Definition
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$Aha!$
Das Besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
| Wichtig: Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im rechtwinkligen Dreieck! |
Steigung und Steigungswinkel
Aus dem Kapitel Lineare Funktionen wissen wir bereits, dass die Steigung $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$ Somit erhalten wir die Formel:
| $$k=\tan \alpha$$ |
Mit dieser Formel kann nun einfach zwischen der (prozentuellen) Steigung und dem Steigungswinkel gewechselt werden:
Musterbeispiel
- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.
- Bestimmen Sie
- a) den Steigungswinkel
- b) die prozentuelle Steigung
Lösung
a) Berechnung des Steigungswinkels:
$\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ | im TR: $sin^{-1}$
$\alpha = 8.05°$
b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen: $$k=\ tan\ \alpha$$ $$k=\tan \ 8.05°$$ $$k=0.14=14 \ \%$$ A: Die Steigung beträgt 14 %.
Übungen im Rechtwinkligen Dreieck
Vermessungsaufgaben
Begriffe
- Höhenwinkel
Der Höhenwinkel ist der Winkel zwischen der Horizontalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Höhe".
- Tiefenwinkel
Der Tiefenwinkel ist der Winkel zwischen der Horizontalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Tiefe".
- Sehwinkel
Der Sehwinkel ist das Objekt (in der rechten Abbildung die senkrechte Strecke) "einfängt".
Beispiele
Inhaltsverzeichnis
Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis
Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius r=1. Sein Umfang beträgt $$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$
Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:
1) Gradmaß (abgekürzt mit °)
So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.
- Eine volle Umdrehung hat 360°
- Eine halbe Umdrehung hat 180°
2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)
Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens r (siehe Skizze) bestimmt werden.
- Bei einer vollen Umdrehung hat r die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises, siehe oben). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
- Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.
$Aha!$ : Hier findest du ein Arbeitsblatt, das dir den Zusammenhang besser erklärt.
Merke
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Musterbeispiel
a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.
b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.
Lösung
a) Grad- in Bogenmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
$$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$
A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$
b) Bogen- in Gradmaß: $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$ $$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$ $$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$
A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°
Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis
Theorie
Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:
- Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke = y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.
- Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke = x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.
- Der Tangens entspricht der Länge des Tangentenabschnittes der Tangente durch den Punkt (1,0).
Begründung:
für den Sinus: Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge 1. Die Länge der $\color{red}{\textrm{roten Strecke}}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete GK.
Zu zeigen ist nun: $$\sin \ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$
Beweis:
$$\sin\ \alpha=\frac{GK}{H}=\frac{\color{red}{\textrm{rote Strecke}}}{1}=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$
Somit gilt:
$$\sin\ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$
Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK=1 betrachtet werden.
$Aha!$ : Mit dem folgenden Arbeitsblatt kannst du dein Verständnis vertiefen.
Wichtige Werte
Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das obige Arbeitsblatt sollte dir dabei helfen:
| Sinus | Cosinus | Tangens | |
| Gradmaß: 90°
Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad |
1 | 0 | nicht definiert |
| 180°
$\pi$ rad |
0 | -1 | 0 |
| 270°
$\frac{3\pi}{2}$ rad |
-1 | 0 | nicht definiert |
| 0° und 360°
0 rad und $2\pi$ rad |
0 | 1 | 0 |
Inhaltsverzeichnis
Trigonometrische Funktionen
$Aha!$ : Öffne das folgende Arbeitsblatt. Hier findest du heraus, wie man mithilfe des Einheitskreises auf die unten abgebildten Graphen der Sinus-, Cosius und Tangensfunktion kommt.
Sinusfunktion $f(x)=\sin \ x$
Stellt man den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der x-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der y-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:
Cosinusfunktion $f(x)=\cos \ x$
Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:
Tangensfunktion $f(x)=\tan\ x$
Der Graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:
Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
- Periodizität: Die Werte der Trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
- Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die Wertemenge $W=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle x: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der Betrag verwendet.)
- Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
- Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der Tabelle zum Einheitskreis herausgelesen werden.
Inhaltsverzeichnis
Das allgemeine Dreieck - Sinussatz und Cosinussatz
Wichtig: Der folgende Abschnitt ist für die schriftliche Matura nur in folgenden Schulzeweigen relevant:
Allerdings helfen dir die hier beschriebenen Formeln, gewisse Beispiele schneller und einfacher zu berechnen. Daneben könnte dieser Abschnitt auch bei der mündlichen Matura zum Stoffgebiet gehören (Informationen dazu gibt dir deine Lehrperson)
Unter allgemeinen Dreiecken versteht man Dreiecke, die nicht über einen rechten Winkel verfügen müssen.
Ohne rechten Winkel können wir die Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens nicht verwenden. Aus diesem Grund führen wir nun neue Formeln ein:
a) den Sinussatz
b) den Cosinussatz und
c) die allgemeinen Flächenformeln
Im allgemeinen Dreieck braucht man immer 3 bekannte Größen, um eine vierte zu berechnen! (Im rechtwinkligen Dreieck reichten uns dank dem rechten Winkel zwei zusätzlich Größen, um eine weitere zu berechnen).
Sinussatz
Der Sinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck
1. eine Seite und
2. der gegenüberliegende Winkel und
3. irgend eine andere Seite oder ein anderer Winkel bekannt sind.
| Formel für den Sinussatz |
| $$\frac{\sin\ \alpha}{a}=\frac{\sin\ \beta}{b}=\frac{\sin\ \gamma}{c}$$ |
Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleitung des Sinussatzes:
Cosinussatz
Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleitung und die Bedeutung des Cosinussatzes:
| Formeln für den Cosinussatz |
|---|
|
Der Cosinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck:
- a) 2 Seiten und der darin eingeschlossene Winkel gegeben ist oder
- b) alle drei Seiten gegeben sind und ein Winkel berechnet werden will.
Voraussetzungen, um den Cosinussatz zu verwenden.
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|---|---|---|
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|
Beispiele
Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck
| rechtwinkliges Dreieck | allgemeines Dreieck | |
| Winkelsumme | $180°=\alpha+\beta+\gamma$ | $180°=\alpha+\beta+\gamma$ |
| Pythagoras | $H^2=GK^2+AK^2$ | gilt nur im rechtwinkligem Dreieck! |
| Flächeninhalt | $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$ | $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$ |
| Sinussatz | $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$ | |
| Cosinussatz | $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$ $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$ |
Matura-Aufgaben
- $Bifie$: Leuchtturm (bifie-Aufgabe)
- $Bifie$: Schifahren (bifie-Aufgabe: leicht)
- $Bifie$: Standseilbahn (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
- $Bifie$: Glaspyramiede des Louvre (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
- Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!
- $Bifie$: Hochwasserschutz (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
- Siehe auch Formeln aufstellen
- $Bifie$: Gletschermarathon (bifie-Aufgabe: mittel)
- $Bifie$: Geschwindigkeitskontrolle (bifie-Aufgabe: leicht)
- $Bifie$: Wetterballon (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
- Siehe auch Lineare Funktionen
- $Bifie$: Wasserverbrauch (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
- Siehe auch: Logarithmus
- $Bifie$: Radausflug (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
- Siehe auch
- * Beschreibende Statistik
- * Exponentielle Abnahme
- $Bifie$: Windkraftanlage (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)
- Achtung! Aufgabe b lernst du erst in der 5. Klasse
- $Bifie$ Milchverpackung (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für b) Trigonometrie (2.12 und 3.10) und für c) Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)
