Ungleichung: Unterschied zwischen den Versionen
(→Lösung von Ungleichungen mit einer Variable) |
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| − | Löse die Ungleichung $3x+1<7$ | + | Löse die Ungleichung $3x+1<7$ über der [[Grundmenge, Definitionsmenge, Lösungsmenge|Grundmenge]] [[Zahlenmengen#die_reellen_Zahlen_.24.5Cmathbb.7BR.7D.24|$\mathbb{R}$]]. |
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{{Vorlage:Merke|1= Der wichtigste Unterschied beim Umformen zwischen Gleichung und Ungleichung: | {{Vorlage:Merke|1= Der wichtigste Unterschied beim Umformen zwischen Gleichung und Ungleichung: | ||
| − | Wird eine Ungleichung mit einer '''negativen Zahl multipliziert oder dividiert''', so ändert sich die Richtung des | + | Wird eine Ungleichung mit einer '''negativen Zahl multipliziert oder dividiert''', so ändert sich die Richtung des Ungleichungszeichens!}} |
{{Vorlage:Hinweis|1= '''Beweisidee:''' | {{Vorlage:Hinweis|1= '''Beweisidee:''' | ||
Nehmen wir die Ungleichung | Nehmen wir die Ungleichung | ||
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und multiplizieren wir links und rechts mit $(-1)$: | und multiplizieren wir links und rechts mit $(-1)$: | ||
$$3<5 \ \ \vert \cdot (-1)$$ | $$3<5 \ \ \vert \cdot (-1)$$ | ||
| − | $$-3 \? -5$$ | + | $$-3\ \color{red}{?} -5\ \ \ $$ |
| − | Damit die Ungleichung immer noch stimmt, muss man nun das | + | Damit die Ungleichung immer noch stimmt, muss man nun das Ungleichungszeichen ändern, weil -3 größer ist als -5 (schau dir das am Zahlenstrahl an!) |
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| + | $$\frac{15-3x}{-2}\geq 2x-7$$ über der Grundmenge $\mathbb{R}$. | ||
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|2= Lösung}} | |2= Lösung}} | ||
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== Fallunterscheidung bei Multiplikation mit x == | == Fallunterscheidung bei Multiplikation mit x == | ||
Version vom 9. August 2016, 06:26 Uhr
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Im Gegensatz zu einer Gleichung hat eine Ungleichung anstelle eines = eines der folgenden 4 Ungleichheitszeichen: $<$... (eindeutig) kleiner |
Beispiele:
- $5<3$
- $2x+3 \geq 11$
Inhaltsverzeichnis
Angabe der Lösungsmenge
Graphisch
Intervall
Mengenschreibweise
Lösung von Ungleichungen mit einer Variable
Eine lineare Ungleichung löst man ähnlich wie eine Gleichung mithilfe von Umformungen:
Löse die Ungleichung $3x+1<7$ über der Grundmenge $\mathbb{R}$.
$$3x+1<7 \ \ \vert -1$$ $$3x<6 \ \ \vert :3$$ $$x<2$$
| graphisch | Intervall | Mengenschreibweise |
|---|---|---|
| kommt bald | $$(-\infty ;2)$$
oder $$]-\infty ;2[$$ |
$\mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}\vert x<2\}$ |
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Der wichtigste Unterschied beim Umformen zwischen Gleichung und Ungleichung:
Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, so ändert sich die Richtung des Ungleichungszeichens! |
Hinweis!
Nehmen wir die Ungleichung $$3<5$$ und multiplizieren wir links und rechts mit $(-1)$: $$3<5 \ \ \vert \cdot (-1)$$ $$-3\ \color{red}{?} -5\ \ \ $$ Damit die Ungleichung immer noch stimmt, muss man nun das Ungleichungszeichen ändern, weil -3 größer ist als -5 (schau dir das am Zahlenstrahl an!) $$-3>-5$$ Somit hat sich das Ungleichungszeichen umgedreht!
Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung
$$\frac{15-3x}{-2}\geq 2x-7$$ über der Grundmenge $\mathbb{R}$.
Fallunterscheidung bei Multiplikation mit x
Ungleichungen mit zwei Variablen
siehe Ungleichungssysteme
Matura-Aufgaben
$Bifie$ ["URL1" "Aufgabentitel1"]
