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| − | Den Logarithmus brauchen wir, um Gleichungen der Form $a^x=b$
| + | #WEITERLEITUNG[[Logarithmus]] |
| − | nach x auflösen zu können.
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| − | ==Der Logarithmus ist der Exponent==
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| − | Der Logarithmus ist eigentlich nur eine Bezeichnung für den Exponenten (Hochzahl) einer bestimmten [[Potenzen (2.2.)|Basis a]], mit dem eine bestimmte Zahl b berechnet wird:
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| − | $$\color{red}{a}^{\color{green}{x}}=\color{blue}{b} $$
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| − | dann heißt
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| − | $$\color{green}{x}=\log_{\color{red}{a}} \color{blue}{b}$$
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| − | $$\textrm{ausgesprochen: }"\color{green}{x}\ ist\ der\ Logarithmus\ zur\ \color{red}{Basis\ a}\ \color{blue}{von\ b} "$$
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| − | '''Beispiele'''
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| − | * $2^x=8 \ \rightarrow \ x=\log_2 8 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 2 von 8") und natürlich gilt $x=3$ da $2^3=8$.
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| − | * $5^x=25 \rightarrow \ x=\log_5 25 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 5 von 25") und natürlich gilt $x=2$ da $5^2=25$ ist.
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| − | {{Vorlage:Merke|1= Der Logarithmus zur Basis $a$ von der Zahl $b$ ist die Bezeichnung für den Exponenten. D.h.
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| − | $$x=\log_a b \Leftrightarrow a^x=b$$
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| − | ==Berechnung mithilfe der Potenzregeln==
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| − | Mithilfe der [[Potenzen_(2.2.)#Rechnen_mit_Potenzen|Potenzregeln]] und der Äquivalenz $x=log_a b \Leftrightarrow a^x=b$ lassen sich einfache Logarithmen bestimmen:
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| − | ''Beispiele''
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| − | * $\log_5 125=\log_5 5^3 =3 \ \ \ \ \ \ \ \ $ weil $5^3=125 $
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| − | * $\log_2 16 = log_2 2^4 = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ weil $2^4=16 $
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| − | * $\log_3 \frac{1}{9}= \log_3 9^{-1}=\log_3 (3^2)^{-1}=\log_3 3^{-2}=-2\ \ \ \ \ \ \ \ $ weil $3^{-2}=\frac{1}{9} $
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| − | * $\log_{16} 4 = \log_{16} \sqrt{16}=\log_{16} 16^{\frac{1}{2} }=\frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ weil $16^{\frac{1}{2} }=4 $
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| − | ==Zwei besondere Basen==
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| − | Besonders zwei Basen spielen bei der Berechnung mit Technogie eine große Rolle:
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| − | ===$\lg$ - Logarithmus zur Basis 10===
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| − | Der ''Logarithmus generalis'' (kurz $\lg$) ist der Logarithmus zur Basis 10. Im Taschenrechner ist dies die Taste $[LOG]$.$$lg=\log_{10}=[LOG]$$
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| − | {| align=right
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| − | <gallery heights=150px widths=200px>
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| − | lg mit GeoGebra.png|Berechnung des Zehnerlogarithmus mit GeoGebra
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| − | lg mit Ti.png|Berechnung des Zehnerlogarithmus mit dem Ti
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| − | '''Beispiele:'''
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| − | * $\lg(10)$
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| − | * $\lg(1000)=3$
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| − | * $\lg(0.01)=-2$
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| − | ===$\ln$ - Logarithmus zur Basis $e$===
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| − | Der ''Logarithmus naturalis'' (=natürlicher Logarithmus, kurz $\ln$) ist der Logarithmus zur Basis $e$, wobei $e=2.718...$ die berühmte [[Eulersche Zahl e|Eulersche Zahl]] ist. Im Taschenrechner findet sich die $[Ln]$-Taste direkt unter der Taste für den Zehnerlogarithmus $[LOG]$.
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| − | $$\ln=\log_e=Ln$$
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| − | {| align=right
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| − | <gallery heights=150px widths=200px>
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| − | ln mit GeoGebra.png|Berechnung des natürlichen Logarithmus mit GeoGebra
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| − | ln mit Ti.png|Berechnung des natürlichen Logarithmus mit dem Ti
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| − | </gallery>
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| − | '''Beispiele:'''
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| − | * $\ln(e)=1$
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| − | * $\ln1000)=6.91$
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| − | * $\ln(0.01)=-4.61$
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| − | ==Rechengregeln des Logarithmus==
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| − | Mithilfe der [[Potenzen (2.2.)|Rechenregeln für Potenzen]] kommt man auf die folgenden Regeln für den Logarithmus:
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| − | {| class="wikitable"
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| − | ! Regel!! Formal!! Begründung und Beispiel
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| − | | 1. "Hoch 1-Regel"|| $$\log_a a=1$$|| style="text-align:center;" | weil $a^1=a$. Z.B.: $$\ln e=1$$ oder $$\lg 10=1$$
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| − | | 2. "Hoch 0"-Regel|| $$\log_a 1=0$$ || style="text-align:center;" | weil $a^0=1$ für alle $a\neq 0$. Z.B.: $$\ln 1=0$$
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| − | | 3. Produktregel|| $$\log_a (u\cdot v)=\log_a u+\log_a v$$|| style="text-align:center;"| $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$
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| − | | 4. Quotientenregel|| $$\log_a \left(\frac{u}{v}\right)=\log_a u-\log_a v$$|| style="text-align:center;"|$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$
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| − | |-
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| − | | 5. Exponentenregel|| $$\log_a u^r = r\cdot \log_a u$$|| style="text-align:center;"| $\left(a^x\right)^r=a^{r\cdot x}$
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| − | | 6. "Negativ-Regel"|| $$\log_a (u\pm v)=log_a (u\pm v)$$|| style="text-align:center;"| Bei einer Summe oder Differenz kann man nichts verändern!
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| − | | 7. Umrechnung im Taschenrechner || $$\log_a u =\frac{\log_b u}{\log_b a}$$|| style="text-align:center;"| Mit dieser Formel lassen sich Logarithmen mit beliebiger Basis im TR berechnen. Z.B.:
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| − | $$\log_2 1024 = \frac{\ln 1024 }{\ln 2}=10$$
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| − | == Musterbeispiele ==
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| − | {{Vorlage:Merke|1= '''Hinweis'''
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| − | # Bei den folgenden Beispielen ist es egal, mit welcher Basis gerechnet wird, da die obigen Regeln für alle Basen $a>0$ gelten.
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| − | # Bei den folgenden Umformen gehen wir "''von außen nach innen''", d.h. wir formen zuerst jene Rechenoperationen um, die sich auf den ganzen Term im Logarithmus bezieht.}}
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| − | Forme durch Verwenden der Rechenregeln des Logarithmus auf:
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $$\ln\left(a^3\cdot b\right)$$|2= $$\ln\left(a^3\cdot b\right)\underbrace{=}_{3.Regel} \ln(a^3)+ \ln(b)\underbrace{=}_{5.Regel} 3\cdot \ln(a)+\ln(b)$$
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $$\lg\left(\frac{a^5\cdot \sqrt[3]{b} }{c^2} \right)$$
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| − | |2= $\begin{align}
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| − | \lg\left(\frac{a^5\cdot \sqrt[3]{b} }{c^2} \right)&\underbrace{=}_{4.}& \lg(a^5\cdot b^\frac{1}{3} )-\lg(c^2)\\
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| − | & \underbrace{=}_{3.}& \lg(a^5)+lg( b^\frac{1}{3} )-lg(c^2)\\
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| − | & \underbrace{=}_{5}& 5\cdot \lg(a)+\frac{1}{3}\cdot \lg(b)-2\cdot \lg(c)
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| − | \end{align}$
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| − | }}
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1= $$\lg\sqrt[5]{\left(\frac{(a^2-b^2)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right)}$$|2=
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| − | $\begin{align}
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| − | \lg\sqrt[5]{\left(\frac{(a^2-b^2)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right) } &\underbrace{=}_{umformen}& \lg \left(\frac{(a-b)\cdot (a+b)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right)^{\frac{1}{5} }\\
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| − | &\underbrace{=}_{5.+kürzen}& \frac{1}{5}\lg \left(\frac{(a-b)\cdot c^3}{10^{-3} } \right)\\
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| − | &\underbrace{=}_{4.}& \frac{1}{5}\left[ \lg\left((a-b)\cdot c^3\right)-\lg(10^{-3})\right]\\
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| − | &\underbrace{=}_{3.}&\frac{1}{5}\left[ \lg(a-b)+ \lg c^3-\lg(10^{-3})\right]\\
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| − | &\underbrace{=}_{ 5.}&\frac{1}{5}\left[ \lg(a-b)+ 3\cdot\lg c-(-3)\cdot\lg(10)\right]\\
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| − | &\underbrace{=}_{\lg(10)=1} & \frac{1}{5}\lg(a-b)+\frac{3}{5}\cdot \lg(c)+\frac{3}{5}
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| − | \end{align}$
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| − | }}
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| − | == Gleichungen mithilfe des Logarithmus lösen ==
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| − | Für Anwendungsbeispiele ist vor allem die [[Der_Logarithmus_(2.3.)#Rechengregeln_des_Logarithmus|5. Regel]] von Bedeutung, da sie es uns erlaubt, Gleichungen zu lösen, indenen die Variable im Exponenten steht.
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1=
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| − | $$5^x=13$$
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| − | Bestimme den Wert von x!
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| − | |2=
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| − | Allein durch einfaches abschätzen wissen wir schon, dass x zwischen 1 und 2 liegen muss (da $5^1=5$ und $5^2=25$). Den genauen Wert können wir aber erst mit dem Logarithmus bestimmen.
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| − | $$5^x=13 \ \ \vert \lg(\ )$$
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| − | $$\lg(5^x)=\lg(13)\ \ \vert 5.\ Regel$$
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| − | $$x\cdot \lg(5)=\lg(13)\ \ \vert :\lg(5)$$
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| − | $$x=\frac{\lg(13)}{\lg(5)}=1.59$$
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| − | {{Vorlage:Merke|1=
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| − | * Wende den Logarithmus erst so spät wie möglich an! So gehst du den häufigsten Fehlern aus dem Weg!
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| − | * Es ist egal, ob du $\ln$ (Logarithmus zur Basis $e$) oder $\lg$ (Logarithmus zur Basis 10) verwendest. Wichtig ist nur, dass du in einer Rechnung die Basis nicht mischt.
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| − | * Rechentechnisch es es ratsam $\ln$ zu verwenden, wenn die $e$ als Basis vorkommt und $\lg$ zu verwenden, wenn 10 als Basis vorkommt. Begründung liegt in Regel 1.: $\lg(10)=\ln(e)=1$ }}
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1=$$N_t=N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}$$
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| − | Stelle $t$ frei!
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| − | |2=
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| − | $\begin{align}
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| − | N_t=&N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}& \vert :N_0\\
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| − | \frac{N_t}{N_0}=&e^{\lambda\cdot t}& \vert \ln(\ )\\
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| − | \ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&\ln\left(e^{\lambda\cdot t}\right)& \vert 5.\ Regel\\
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| − | \ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&(\lambda\cdot t)\cdot \ln(e)& \vert \ln(e)=1\\
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| − | \ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&\lambda\cdot t & \vert :\lambda \\
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| − | \frac{\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right) }{\lambda}=&t&
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| − | \end{align}$
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| − | }}
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| − | == Zusammenfassung ==
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| − | {{Vorlage:Video|1=P2YUPkljpOE}}
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| − | == weitere Materialien ==
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| − | * [http://brinkmann-du.de/mathe/gost/logarithmen_01.htm Inforamtionen auf Brinkmann-du.de]
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| − | * [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/logarithmen_ueb.htm Übungen von Jutta Gut]
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| − | == Beispiele ==
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| − | kommt bald
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