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| − | Den Logarithmus brauchen wir, um Gleichungen der Form
| + | #WEITERLEITUNG[[Logarithmus]] |
| − | $$a^x=b$$
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| − | nach x auflösen zu können.
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| − | ==Der Logarithmus ist der Exponent==
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| − | Der Logarithmus ist eigentlich nur eine Bezeichnung für den Exponenten (Hochzahl) einer bestimmten [[Potenzen (2.2.)|Basis a]], mit dem eine bestimmte Zahl b heruaskommt:
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| − | $$\color{red}{a}^{\color{green}{x}}=\color{blue}{b} $$
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| − | dann heißt
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| − | $$\color{green}{x}=\log_{\color{red}{a}} \color{blue}{b}$$
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| − | $$\textrm{ausgesprochen: }"\color{green}{x}\ ist\ der\ Logarithmus\ zur\ \color{red}{Basis\ a}\ \color{blue}{von\ b} "$$
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| − | '''Beispiele'''
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| − | * $2^x=8 \ \rightarrow \ x=\log_2 8 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 2 von 8") und natürlich gilt $x=3$ da $2^3=8$.
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| − | * $5^x=25 \rightarrow \ x=\log_5 25 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 5 von 25") und natürlich gilt $x=2$ da $5^2=25$ ist.
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| − | {{Vorlage:Merke|1= Der Logarithmus zur Basis $a$ von der Zahl $b$ ist die Bezeichnung für den Exponenten. D.h.
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| − | $$x=\log_a b \Leftrightarrow a^x=b$$
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| − | ==Berechnung mithilfe der Potenzregeln==
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| − | ==Zwei besondere Basen ==
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| − | === Logarithmus zur Basis 10 ===
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| − | === Logarithmus zur Basis $e$ ===
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| − | ==Rechengregeln des Logarithmus==
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| − | Mithilfe der [[Potenzen (2.2.)|Rechenregeln für Potenzen]] kommt man auf die folgenden Regeln für den Logarithmus:
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| − | {| class="wikitable"
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| − | ! Regel!! Formal!! Begründung und Beispiel
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| − | | 1. "Hoch 1-Regel"|| $$\log_a a=1$$|| weil $a^1=a$. Z.B.: $$\ln e=1$$ oder $$\lg 10=1$$
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| − | | 2. "Hoch 0"-Regel|| $$\log_a 1=0$$ || weil $a^0=1$ für alle $a\neq 0$. Z.B.: $$\ln 1=0$$
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| − | | 3. Produktregel|| $$\log_a (u\cdot v)=\log_a u+\log_a v$$|| $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$
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| − | | 4. Quotientenregel|| $$\log_a \left(\frac{u}{v}\right)=\log_a u-\log_a v$$|| $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$
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| − | | 5. Exponentenregel|| $$\log_a u^r = r\cdot \log_a u$$|| $\left(a^x\right)^r=a^{r\cdot x}$
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| − | | 6. "Negativ-Regel"|| $$\log_a (u\pm v)=log_a (u\pm v)$$|| Bei einer Summe oder Differenz kann man nichts verändern!
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| − | | 7. Umrechnung im Taschenrechner || $$\log_a u =\frac{\log_b u}{\log_b a}$$|| Mit dieser Formel lassen sich Logarithmen mit beliebiger Basis im TR berechnen. Z.B.:
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| − | $$\log_2 1024 = \frac{\ln 1024 }{\ln 2}=10$$
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| − | == Zusammenfassung ==
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| − | {{Vorlage:Video|1=P2YUPkljpOE}}
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| − | == Beispiele ==
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| − | kommt bald
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