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| | == Gruppe 3: Das bestimmte Integral == | | == Gruppe 3: Das bestimmte Integral == |
Version vom 2. Oktober 2014, 09:21 Uhr
Klicke auf das Bild, um die Einführungspräsentation zu starten
Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel
Klicke auf Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke um mit der Seite zu beginnen.
Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen
Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff Stammfunktion.
Integrationsregeln
$$\int x^r\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
- Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer -1.
$$\int_{a}^{b} [f(x)± g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f (x)\,dx±\int_{a}^{b} g (x)\,dx$$
- Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.
$$\int_{a}^{b} c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int_{a}^{b} f (x)\,dx$$
- Einen konstanten Faktor kann man herausheben.
$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$
- Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$
Beispiele
$y=-x+0,5$
$y=0,5x^2+0,5x+c$
$y=x^2$
$y=\frac{x^3}{3}$+c$
[[Datei:Bsp.png|left]]
$y=9x^2-8x+1$
y=3x^3-4x^2+x+c
[[Datei:Bsp.png|left]]
== Gruppe 3: Das bestimmte Integral ==
Klicke auf [[Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche]]
== Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen ==
Klicke auf [[Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen]] um mit der Seite zu beginnen.
== Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven ==
Klicke auf [[Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven]] um mit der Seite zu beginnen.
== Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung ==
Klicke auf [[Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung]] um mit der Seite zu beginnen.
== Übungsaufgaben ==
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter|
? ]] [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_integralrechnung/2011-03-22-Integral/Lernpfad/ Quiz-Aufgabe] (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie |
$Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=26&file=Erddamm.pdf Erddamm] (leicht-mittel)
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie |
$Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=135&file=Volumenstrom.pdf Volumenstrom] (mittel-schwer-mittel)
:: hierbei werden auch die Themen wie [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient | die momentane Änderungsrate]] und [[Umkehraufgaben]] benötigt.
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie |
$Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=117&file=Pinboard.pdf Pinborad] (mittel)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] und über [[Gleichungssysteme (2.7.) | das Lösen von Gleichungssystemen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie |
$Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=130&file=Wasserkanal.pdf Wasserkanal] (mittel-mittel-leicht)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] bzw. [[Steigung und Steigungswinkel]] sowie den [http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/trapez/flaecheninhalt.html Flächeninhalt eines Trapez']
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie |
$Bifie$]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
:: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Differenzen- und Differentialquotient]]
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie |
$Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=155&file=Schmuckstueck.pdf Schmuckstück] (leicht-mittel-mittel)
:: Was brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie |
$Bifie$]]
Minirampe (mittel)
- Hier brauchst du auch Wissen über Kurvendiskussionen sowie über Steigung und Steigungswinkel und über Umkehraufgaben
