Inhalt:Darstellung einer Funktionen

Inhalt:Darstellung einer Funktionen

Mathematische Funktionen und ihre Darstellungen

Eine Möglichkeit, eine Funktion darzustellen ist, den Grafen der Funktion zu zeichnen.

In der Mathematik bestehen die Definitions- und Wertemenge in der Regel aus Zahlen (meist aus den reellen Zahlen.)

Somit weist die Funktion f jeder Zahl x einer Definitionsmenge eine andere Zahl y einer Wertemenge zu.

Ein Beispiel für eine soche Zuweisung von Zahlen auf Zahlen siehst du im unteren Applet. Beachte hierbei auch die verschiedenen Darstellungen der Funktion:

a) Mengendiagramm: Die Elemente der Definitionsmenge werden durch die Funktion mit Elementen der Wertemenge verbunden.

b) Wertetabelle: In einer Tabelle wird die Zuordnungen von x- und y-Werten angegeben.

c) Graph: Die x- und y-Werte aus der Wertetabelle können in einem Koordinatensystem als Punkte mit den Koordinaten (x,y) angegeben werden. Der Punkt (1,4) würde dann bedeuten, dass der Zahl 1 aus der Definitionsmenge die Zahl 4 in der Wertemenge zugeordnet wurde. Das entstehende Gebilde nennt man dann Graph der Funktion

Darstellung: Mengendiagramm - Wertetabelle - Graph
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Zuletzt gibt es noch eine weitere wichtige Darstellung einer Funktion, die

d) Funktionsgleichung
Hat man eine Funktion, die jedem Wert aus der Definitionsmenge seinen Doppelten Wert zuordnet, so kann man dies auch folgendermaßen schreiben: $$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } y=2x$$ wobei x im Definitionsbereich und y im Wertebereich liegt. Eine oft gebräuchlichere Schreibweise für eine Funktionsgleichung ist: $$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } f(x)=2x$$ $$\textrm{ (gesprochen: f von x ist 2 mal x)}$$

Beispiele für Funktionsgleichungen:

Funktionsgleichung	gesprochen	Bedeutung
$f(x)=x+1$	f von x ist x plus 1	Die Funktion f ordnet jedem x seine um 1 höhere Zahl x+1 zu.
$f(x)=2x$	f von x ist 2 mal x	Die Funktion f ordnet jedem x ihren doppelten Wert zu.
$f(x)=3x+1$	f von x ist 3 mal x plus 1	Die Funktion f ordnet jedem x jene Zahl zu, die man erhält, wenn man vom Dreifachen von x eins addiert.

Nun lernen wir, mithilfe einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle und anschließend einen Graphen zu erstellen:

Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung $f(x)=x+2$.
a) Erstelle mithilfe der Funktionsgleichung eine Wertetabelle im Definitionsbereich [0;3]
b) Skizziere den Graphen der Funktion

a) Erstelle mithilfe der Funktionsgleichung eine Wertetabelle im Definitionsbereich [0;3]

Gegeben ist die Funktionsgleichung $f(\color{red}{x})=\color{red}{x}+2$ (wir könnten auch y=x+2 schreiben, da f(x)=y ist).

Wertetabelle der Funktion $f(x)=x+2$

Um die Wertetabelle zu erstellen, setzen wir nun Zahlen aus dem Definitionsbereich [0;3] für x ein und berechnen damit y (oder f(x)).

• Wenn x=0 dann ist: $f(\color{red}{0})=\color{red}{0}+2=2$ d.h. für x=0 ist y=2 (oder $f(\color{red}{0})=2$)
• Wenn x=1 dann ist: $f(\color{red}{1})=\color{red}{1}+2=3$ d.h. für x=1 ist y=2 (oder f(1)=3)
• Wenn x=2 dann ist: $f(\color{red}{2})=\color{red}{2}+2=4$ d.h. für x=2 ist y=4 (oder f(2)=4)
• Wenn x=3 dann ist: $f(\color{red}{3})=\color{red}{3}+2=5$ d.h. für x=3 ist y=5 (oder f(3)=5)

Natürlich können wir auch Dezimalzahlen einsetzen:

• Wenn x=0.5 dann ist: f(0.5)=0.5+2=2.5 d.h. für x=2.5 ist y=2.5 (oder f(1.5)=2.5)

Fassen wir x-Werte und y-Werte in einer Tabelle zusammen, so erhalten wir die richts abgebiltete Wertetabelle.

b) Skizziere den Graphen der Funktion f Um den Graphen zu zeichnen, verwenden wir die Werte aus der Wertetabelle. Jede Spalte entspricht dabei einem Punkt mit x-Koordinate und y-Koordinate. z.B.: Nehmen wir den Punkt aus der untersten Zeile: (0.5,2.5) so müssen wir 0.5 entlang der x-Achse nach rechts und 2.5 entlang der y-Achse hinauf (Bei Schwierigkeiten mit dem Einzeichnen der Punkte, siehe Koordinatensystem).

Zeichnest du alle Punkte ein, so erhälst du:

Einzeichnen der Punkte aus der Wertetabelle

Was wir zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht wissen ist, dass f(x)=x+2 eine lineare Funktion ist, dessen Graph immer eine Gerade ist. Somit können wir die Punkte verbinden und erhaltne den Graph der Funktion im Definitionsbereich [0;3]:

Graph der Funktion $f(x)=x+2$ im Definitionsbereich [0;3]

Merke

$\ $ Eine Wertetabelle erstellt man, indem man für x einen Wert aus dem Definitionsbereich einsetzt und den y-Wert ausrechnet. Einen Graphen erstellt man, indem man zuerst die Punkte (x,y) aus der Wertetabelle einzeichnet und anschließend passend verbindet. Den x-Wert nach rechts/links und den y-Wert hinauf/hinunter. (Beachte: Was es heißt, die Punkte "passend zu verbinden" kommt immer auf die Art der Funktion an - dies lernst du in den weiteren Kapiteln)

Übung zur Darstellung von Funtkionen: Funktionsgleichung - Wertetabelle - Graph
Löse die Aufgaben, indem du die passende Funktionsgleichung eintippst die Wertetabelle richtig stellst (rote Werte) die Punkte im Graphen an die richtige Stelle schiebst. Klicke am Ende jeder Aufgabe auf "Überprüfung" um zu sehen, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast.
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Hinweis!

$\ $

1. Anstelle von f können auch andere Buchstaben für eine Funktion verwendet werden. Z.B.: $g(x)=x+1$
2. Auch muss nicht immer x als Variable verwendet werden. So wird für die Zeit als Definitionsbereich meist der Buchstabe t verwendet. z.B.: $g(t)=t+1$.

Merke

Folgende Darstellungsformen sind in der Mathematik von großer Bedeutung: Funktionsgleichung Wertetabelle Graph einer Funktion Viele Aufgaben werden darin bestehen, zwischen diesen Darstellungsformen zu wechseln.

Zusammenfassungsvideo

Weiteres Applet zu Definitions- und Bildbereich: https://www.geogebra.org/m/UWEnxpFJ