Inhalt:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung
Inhaltsverzeichnis
Begriffe
- $s(t)$ gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m$ oder $km$ ...)
- $v(t)$ gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m/s$ oder $km/h$ ...). Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges $s(t)$. D. h.
$$s'(t)=v(t)\textrm{ bzw. } \int v(t)=s(t)+c,\textrm{ wobei $c$ die Anfangsstrecke $s_0$ angibt.}$$
- $a(t)$ gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m/s^2$ oder $km/h^2$ ...). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit $v(t)$. D. h.
$$v'(t)=a(t)\textrm{ bzw. } \int a(t)=v(t)+c,\textrm{ wobei $c$ die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ angibt.}$$
Vereinfacht gesagt gilt folgender Zusammenhang:
Beispiele
Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum.
Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. 5.5 m/s².
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung währen des ganzen Fluges konstant ist (d.h. a(t)=5.5 m/s².
Die Variable t gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden (s) an.
a)Bestimmen Sie die Funktion v, die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit v(0)=v_0=0)
b) Bestimmen Sie mithilfe von v die Funktion s, die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.
c) 180 Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).
Berechnen Sie:
- die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.
- die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt
d) In etwa 1000 km Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.
Tipp zur Berechnung:
$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ $$v(t)=\int 5,5 \cdot dt$$ $$v(t)=5,5 \cdot t + v_0$$ $$v(t)=5,5 \cdot t$$
Antwort: Die Geschwindigkeitsfunktion lautet: $v(t)=5,5 \cdot t$
b) Bestimmen Sie mithilfe von v den Wegfunktion s, die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.
Tipp zur Berechnung:
$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$ $$s(t)=\int 5,5t \cdot dt$$ $$s(t)=5,5 \cdot \frac{t^2}{2} +c$$ $$s(t)=2,75 \cdot t^2$$
Antwort: Die Funktionsgleichung lautet: $s(t)=2,75 \cdot t^2$
c) 180 Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).
Berechnen Sie:
- die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.
Tipp zur Berechnung:
$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$ $$s(180)=2,75 \cdot 180^2$$ $$s(180)=89100 m$$
Nach 180 Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von 89100m.
- die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt.
Tipp zur Berechnung:
$$v(t)=5,5 \cdot t$$
$$v(180)=5,5 \cdot 180$$
$$v(180)=990 m/s$$
$$990 m/s \rightarrow 3564 km/h$$
Nach 180 Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von 3564 km/h erreicht.
d) In etwa 1000 km Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.
Tipp zur Berechnung:
$$1.000.000=2,75 \cdot t^2$$
$$t=603,02$$
Nach 603,02 Sekunden ereichen wir mit unserer Rakete die Höhe 1.000.000 Meter.
Weitere Beispiele
Beispiele samt Lösungen von brinkmann-du
Quiz
noch zu überarbeiten!