Inhalt:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | + | [[Datei:Weg-gesch-beschl.png|thumb|right|Wird die Geschwindigkeit $v$ durch den Graphen angegeben, so ist die [[Differenzen-_und_Differentialquotient#Der_Differentialquotient_.28.3D_momentane_Steigung.29|Steigung]] die Beschleunigung $a$. Der Flächeninhalt unter $v$ gibt den Weg $s$ an.]] | |
| − | + | * '''$s(t)$''' gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m$ oder $km$ ...) | |
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| + | * '''$v(t)$''' gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m/s$ oder $km/h$ ...). Die Geschwindigkeit ist die [[Differenzen-_und_Differentialquotient#Der_Differentialquotient_.28.3D_momentane_Steigung.29|momentane Änderung]] des Weges $s(t)$, d. h. | ||
| + | $$s'(t)=v(t)\textrm{ bzw. } \int v(t)=s(t)+c,\textrm{ wobei $c$ die Anfangsstrecke $s_0$ angibt.}$$ | ||
| − | ''' | + | * '''$a(t)$''' gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m/s^2$ oder $km/h^2$ ...). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit $v(t)$, d. h. |
| + | $$v'(t)=a(t)\textrm{ bzw. } \int a(t)=v(t)+c,\textrm{ wobei $c$ die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ angibt.}$$ | ||
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| − | == | + | Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum. Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. $5.5 m/s^2$. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während des ganzen Fluges konstant ist (d. h. $a(t)=5.5 m/s^2$). Die Variable $t$ gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden ($s$) an. |
| − | + | ::::a) Bestimmen Sie die Funktion $v$, die die Geschwindigkeit der Rakete nach $t$ Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit $v(0)=v_0=0$) | |
| − | + | ::::b) Bestimmen Sie mithilfe von $v$ die Funktion $s$, die den nach $t$ Sekunden zurückgelegten Weg angibt. | |
| − | + | ::::c) $180$ Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia). | |
| − | + | :::::Berechnen Sie: | |
| − | + | :::::* die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet. | |
| − | + | :::::* die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt. | |
| − | Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum. | + | ::::d) In etwa $36\, 000 km$ Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird. |
| − | Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. 5.5 m/ | + | |
| − | Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung | + | |
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| − | <div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 5 | + | <div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit $v(t)$ gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung $a(t)$ einmal integrieren. Wir setzen $5.5$ (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für $a(t)$ ein und berechnen $v(t)$. Außerdem ist anzumerken, dass die Integrationskonstante $c=v_0$ wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$) $0$ beträgt und damit $v(0)=0$ gelten muss. |
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$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ | $$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ | ||
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<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span> | <span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span> | ||
| − | <div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges s | + | <div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges $s$ gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit $v(t)$ einmal integrieren. Wir setzen $5.5t$ (dies entnehmen wir aus dem Ergebnis von Aufgabe a) für $v(t)$ ein und berechnen so unser Ergebnis für $s(t)$. Außerdem ist anzumerken, dass die Integrationskonstante $c=s_0$ wegfällt, da unsere zurückgelegte Strecke zu Beginn $0$ ist. |
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$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$ | $$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$ | ||
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| − | $$s(t)=2 | + | $$s(t)=2.75 \cdot t^2$$ |
| + | '''Antwort:''' Die Funktionsgleichung lautet $s(t)=2.75 \cdot t^2$. | ||
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| + | c) $180$ Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia). | ||
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| − | <div class="mw-collapsible-content"> v(t) ist die Formel, die die Geschwindigkeit | + | <div class="mw-collapsible-content"> $v(t)$ ist die Formel, die die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ angibt. Wir setzen daher in diese Formel für die Zeit $t=180$ ein, da wir wissen wollen, wie hoch die Geschwindigkeit der Rakete nach $180$ Sekunden ist. Das Ergebnis erscheint in $m/s$. Wenn das Ergebnis in $km/h$ gewünscht wäre, müsste man das Ergebnis noch mal $3.6$ rechnen. |
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$$v(180)=990 m/s$$ | $$v(180)=990 m/s$$ | ||
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| − | $$990 m/s \rightarrow | + | $$990 m/s \rightarrow 3 564 km/h$$ |
| + | '''Antwort:''' Nach $180$ Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von $3 564 km/h$ erreicht. | ||
| − | + | d) In etwa $36\, 000 km$ Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird. | |
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| − | <div class="mw-collapsible-content"> Die Funktion s | + | <div class="mw-collapsible-content"> Die Funktion $s$ beschreibt den zurückgelegten Weg. Wenn wir die unrealistische Annahme voraussetzen, dass die Rakete „kerzengerade“ emporsteigt, müssen wir somit berechnen, wann $s(t)=36\, 000 km=36\, 000\, 000 m$ beträgt. |
| − | + | Wichtig ist hierbei, dass $s(t)$ den Weg in $m$ angibt! </div> | |
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| + | '''Antwort:''' Nach ca. $3618.14$ Sekunden erreichen wir mit unserer Rakete die Höhe $36\, 000\, 000$ Meter. | ||
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=== Beispiel 2 === | === Beispiel 2 === | ||
| + | Ein Raumschiff hat eine Beschleunigung von $7.94 m/s^2$. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während der ganzen Fahrt konstant bleibt, d. h. $a(t)=7.94 m/s^2$. | ||
| + | Die Variable $t$ gibt die Zeit nach dem Start in Sekunden an. | ||
| − | + | a) Bestimmen Sie die Funktion $v(t)$, die die Geschwindigkeit der Rakete nach $t$ Sekunden angibt. (Anfangsfunktion $= 0$) | |
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| − | <div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 7 | + | <div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit $v(t)$ gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung $a(t)$ einmal integrieren. Wir setzen $7.94$ (dies entnehmen wir aus der Angabe) für $a(t)$ ein und berechnen so unser Ergebnis für $v(t)$. Außerdem ist anzumerken, dass $c$ wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$) $0$ beträgt und dadurch $c$ nach dem integrieren wegfällt. |
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$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ | $$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ | ||
| − | $$v(t)=\int 7 | + | $$v(t)=\int 7.94 \cdot dt$$ |
| − | $$v(t)=7 | + | $$v(t)=7.94 \cdot t (+ c)$$ |
| − | $$v(t)=7 | + | $$v(t)=7.94 \cdot t$$ |
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| − | ''' | + | '''Antwort:''' Die Funktion lautet $$v(t)=7.94 \cdot t$$. |
| + | b) Bestimmen Sie mithilfe der Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ die Funktion $s(t)$, die den nach $t$ Sekunden zurückgelegten Weg angibt. | ||
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| − | <div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges s(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit v(t) einmal integrieren. Wir setzen 7 | + | <div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges $s(t)$ gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit $v(t)$ einmal integrieren. Wir setzen $7.94$ (dies entnehmen wir aus dem Ergebnis, der oberen Aufgabe) für $v(t)$ ein und berechnen so unser Ergebnis für $s(t)$. Außerdem ist anzumerken, dass $c$ wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$) $0$ beträgt und dadurch $c$ nach dem Integrieren wegfällt. |
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| + | $$v(t)= 7.94 \cdot t (+c)$$ | ||
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| + | $$s(t)=7.94 (t^2)/2 + c \cdot t$$ | ||
| + | $$s(t)=3.97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$ | ||
| + | '''Antwort:''' Die Funktion lautet: $$s(t)=3.97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$ | ||
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| − | <div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie viele Meter wir nach 300 Sekunden zurückgelegt haben, verwenden wir die Funktion des Weges s(t). Für unsere Zeit setzen wir 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass | + | <div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie viele Meter wir nach $300$ Sekunden zurückgelegt haben, verwenden wir die Funktion des Weges $s(t)$. Für unsere Zeit setzen wir $300$ Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass $c$ wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$) $0$ ist. |
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| + | $$s(300)= 3.9t \cdot 300^2 (+c \cdot t)$$ | ||
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<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span> | <span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span> | ||
| − | <div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie hoch die Geschwindigkeit nach 300 Sekunden ist, verwenden wir die Funktion der Geschwindigkeit v(t). Für unsere Zeit setzen wir daher 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass | + | <div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie hoch die Geschwindigkeit nach $300$ Sekunden ist, verwenden wir die Funktion der Geschwindigkeit $v(t)$. Für unsere Zeit setzen wir daher $300$ Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass $c$ wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$) $0$ ist. |
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| + | $$v(300)= 7.94 \cdot 300 (+c)$$ | ||
| + | $$v(300)= 2 382 m/s$$ | ||
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| + | d) Nach $2 000 km$ erreicht das Raumschiff den Mars. Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden das Raumschiff den Mars erreicht. | ||
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<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span> | <span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span> | ||
| − | <div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, nach wie vielen Sekunden das Raumschiff den Mars erreicht, verwenden wir die Funktion des Weges s(t). Für unseren Weg setzen wir daher | + | <div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, nach wie vielen Sekunden das Raumschiff den Mars erreicht, verwenden wir die Funktion des Weges $s(t)$. Für unseren Weg setzen wir daher $2 000 m$ ein (Wir rechnen zuvor noch $km$ in $m$ um, da wir die Zeit in Sekunden angegeben haben wollen.). |
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| + | $$2 000 000=3.97 \cdot t^2$$ | ||
| + | $$t = 709.77 Sek.$$ | ||
| − | $ | + | $709.77 s \rightarrow 11.83 min$ |
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| − | + | *[http://www.brinkmann-du.de/physik/ph_aufgaben/phob_a02/phob_a02.htm Beispiele mit Lösungen von brinkmann-du] | |
| − | + | *[http://learningapps.org/watch?v=per6zao0n01 Ordne die Ableitungen der richtigen Stammfunktion zu.] | |
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| − | http://www.brinkmann-du.de/physik/ph_aufgaben/phob_a02/phob_a02.htm | + | |
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Aktuelle Version vom 1. Februar 2023, 18:16 Uhr
Wird die Geschwindigkeit $v$ durch den Graphen angegeben, so ist die Steigung die Beschleunigung $a$. Der Flächeninhalt unter $v$ gibt den Weg $s$ an.
- $s(t)$ gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m$ oder $km$ ...)
- $v(t)$ gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m/s$ oder $km/h$ ...). Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges $s(t)$, d. h.
$$s'(t)=v(t)\textrm{ bzw. } \int v(t)=s(t)+c,\textrm{ wobei $c$ die Anfangsstrecke $s_0$ angibt.}$$
- $a(t)$ gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m/s^2$ oder $km/h^2$ ...). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit $v(t)$, d. h.
$$v'(t)=a(t)\textrm{ bzw. } \int a(t)=v(t)+c,\textrm{ wobei $c$ die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ angibt.}$$
Vereinfacht gesagt gilt folgender Zusammenhang:
Anwendungsbeispiel
Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum. Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. $5.5 m/s^2$. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während des ganzen Fluges konstant ist (d. h. $a(t)=5.5 m/s^2$). Die Variable $t$ gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden ($s$) an.
- a) Bestimmen Sie die Funktion $v$, die die Geschwindigkeit der Rakete nach $t$ Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit $v(0)=v_0=0$)
- b) Bestimmen Sie mithilfe von $v$ die Funktion $s$, die den nach $t$ Sekunden zurückgelegten Weg angibt.
- c) $180$ Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).
- Berechnen Sie:
- die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.
- die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt.
- Berechnen Sie:
- d) In etwa $36\, 000 km$ Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.
a) Bestimmen Sie die Funktion $v$, die die Geschwindigkeit der Rakete nach $t$ Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit $v(0)=v_0=0$)
Tipp zur Berechnung:
Da die Funktion der Geschwindigkeit $v(t)$ gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung $a(t)$ einmal integrieren. Wir setzen $5.5$ (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für $a(t)$ ein und berechnen $v(t)$. Außerdem ist anzumerken, dass die Integrationskonstante $c=v_0$ wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$) $0$ beträgt und damit $v(0)=0$ gelten muss.
$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ $$v(t)=\int 5.5 \cdot dt$$ $$v(t)=5.5 \cdot t + v_0$$ $$v(t)=5.5 \cdot t$$
Antwort: Die Geschwindigkeitsfunktion lautet $v(t)=5.5 \cdot t$.
b) Bestimmen Sie mithilfe von $v$ die Wegfunktion $s$, die den nach $t$ Sekunden zurückgelegten Weg angibt.
Tipp zur Berechnung:
Da die Funktion des Weges $s$ gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit $v(t)$ einmal integrieren. Wir setzen $5.5t$ (dies entnehmen wir aus dem Ergebnis von Aufgabe a) für $v(t)$ ein und berechnen so unser Ergebnis für $s(t)$. Außerdem ist anzumerken, dass die Integrationskonstante $c=s_0$ wegfällt, da unsere zurückgelegte Strecke zu Beginn $0$ ist.
$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$ $$s(t)=\int 5.5t \cdot dt$$ $$s(t)=5.5 \cdot \frac{t^2}{2} +c$$ $$s(t)=2.75 \cdot t^2$$
Antwort: Die Funktionsgleichung lautet $s(t)=2.75 \cdot t^2$.
c) $180$ Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).
Berechnen Sie ...
- ... die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.
Tipp zur Berechnung:
$s(t)$ ist die Formel der zurückgelegten Strecke. Wir setzen daher in diese Formel für die Zeit $t=180$ ein, da wir wissen wollen, wo sich die Rakete nach $180$ Sekunden befindet.
$$s(t)=2.75 \cdot t^2$$ $$s(180)=2.75 \cdot 180^2$$ $$s(180)=89 100 m$$
Antwort: Nach $180$ Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von $89 100 m$.
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- ... die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt.
Tipp zur Berechnung:
$v(t)$ ist die Formel, die die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ angibt. Wir setzen daher in diese Formel für die Zeit $t=180$ ein, da wir wissen wollen, wie hoch die Geschwindigkeit der Rakete nach $180$ Sekunden ist. Das Ergebnis erscheint in $m/s$. Wenn das Ergebnis in $km/h$ gewünscht wäre, müsste man das Ergebnis noch mal $3.6$ rechnen.
$$v(t)=5.5 \cdot t$$
$$v(180)=5.5 \cdot 180$$
$$v(180)=990 m/s$$
$$990 m/s \rightarrow 3 564 km/h$$
Antwort: Nach $180$ Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von $3 564 km/h$ erreicht.
d) In etwa $36\, 000 km$ Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.
Tipp zur Berechnung:
Die Funktion $s$ beschreibt den zurückgelegten Weg. Wenn wir die unrealistische Annahme voraussetzen, dass die Rakete „kerzengerade“ emporsteigt, müssen wir somit berechnen, wann $s(t)=36\, 000 km=36\, 000\, 000 m$ beträgt.
Wichtig ist hierbei, dass $s(t)$ den Weg in $m$ angibt!
$$36\, 000\, 000=2.75 \cdot t^2$$
$$t\approx 3618.14$$
Antwort: Nach ca. $3618.14$ Sekunden erreichen wir mit unserer Rakete die Höhe $36\, 000\, 000$ Meter.
