Inhalt:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung: Unterschied zwischen den Versionen
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* '''v(t)''' gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s oder km/h ...). Die Geschwindigkeit ist die [[Differenzen-_und_Differentialquotient#Der_Differentialquotient_.28.3D_momentane_Steigung.29|momentane Änderung]] des Weges s(t). D.h. | * '''v(t)''' gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s oder km/h ...). Die Geschwindigkeit ist die [[Differenzen-_und_Differentialquotient#Der_Differentialquotient_.28.3D_momentane_Steigung.29|momentane Änderung]] des Weges s(t). D.h. | ||
$$s'(t)=v(t)\textrm{ bzw. } \int v(t)=s(t)+c,\textrm{ wobei c die Anfangsstrecke $s_0$ anngibt.}$$ | $$s'(t)=v(t)\textrm{ bzw. } \int v(t)=s(t)+c,\textrm{ wobei c die Anfangsstrecke $s_0$ anngibt.}$$ | ||
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* '''a(t)''' gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s² oder km/h² ...). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit v(t). D.h. | * '''a(t)''' gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s² oder km/h² ...). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit v(t). D.h. | ||
$$v'(t)=a(t)\textrm{ bzw. } \int a(t)=v(t)+c,\textrm{ wobei c die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ anngibt.}$$ | $$v'(t)=a(t)\textrm{ bzw. } \int a(t)=v(t)+c,\textrm{ wobei c die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ anngibt.}$$ | ||
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Version vom 26. August 2015, 14:24 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Begriffe
- s(t) gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt t an (Einheit: m oder km ....)
- v(t) gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s oder km/h ...). Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges s(t). D.h.
$$s'(t)=v(t)\textrm{ bzw. } \int v(t)=s(t)+c,\textrm{ wobei c die Anfangsstrecke $s_0$ anngibt.}$$
- a(t) gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s² oder km/h² ...). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit v(t). D.h.
$$v'(t)=a(t)\textrm{ bzw. } \int a(t)=v(t)+c,\textrm{ wobei c die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ anngibt.}$$
Vereinfacht gesagt gilt folgender Zusammenhang:
Aufgaben
Beispiel 1:
Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum. Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. 5.5 m/s². Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung währen des ganzen Fluges konstant ist (d.h. a(t)=5.5 m/s². Die Variable t gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden (s) an.
a)Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit a(t)=0)
Tipp zur Berechnung:
$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ $$v(t)=\int 5,5 \cdot dt$$ $$v(t)=5,5 \cdot t (+ c)$$ $$v(t)=5,5 \cdot t$$
Die Funktion lautet: $v(t)=5,5 \cdot t$
b) Bestimmen Sie mithilfe von v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.
Tipp zur Berechnung:
$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$ $$s(t)=\int 5,5t \cdot dt$$ $$s(t)=2,75 \cdot t^2 (+ c*t)$$ $$s(t)=2,75 \cdot t^2$$
Die Funktion lautet: $s(t)=2,75 \cdot t^2$
c) 180 Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).
Berechnen Sie:
- die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.
Tipp zur Berechnung:
$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$ $$s(180)=2,75 \cdot 180^2$$ $$s(180)=89100 m$$
Nach 180 Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von 89100m.
.png)
- die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt
Tipp zur Berechnung:
$$v(t)=5,5 \cdot t$$
$$v(180)=5,5 \cdot 180$$
$$v(180)=990 m/s$$
$$990 m/s \rightarrow 275 km/h$$
Nach 180 Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von 275 km/h erreicht.
d) Die etwa 1000 km Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.
Tipp zur Berechnung:
$$1.000.000=2,75 \cdot t^2$$
$$t=603,02$$
Nach 603,02 Sekunden ereichen wir mit unserer Rakete die Höhe 1.000.000 Meter.
Beispiel 2
Ein Raumschiff hat eine Beschleunigung von 7,94 m/s^2. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während der ganzen Fahrt konstant bleibt. D.h. a(t)=7,94 m/s^2. Die variable t gibt die Zeit nach dem Start in Sekunden an.
a) Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angibt. (Anfangsfunktion = 0)
Tipp zur Berechnung:
$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ $$v(t)=\int 7,94 \cdot dt$$ $$v(t)=7,94 \cdot t (+ c)$$ $$v(t)=7,94 \cdot t$$
Die Funktion lautet: $$v(t)=7,94 \cdot t$$
b) Bestimmen Sie mithilfe von der Funktion der Beschleunigung v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.
Tipp zur Berechnung:
$$v(t)= 7,94 \cdot t (+c)$$ $$s(t)=\int 7,94 \cdot dt$$ $$s(t)=\int 7,94 \cdot dt (+ c)$$ $$s(t)=7,94 (t^2)/2 + c \cdot t$$ $$s(t)=3,97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$
Die Funktion lautet: $$s(t)=3,97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$
c) Berechnen Sie ...
- die zurückgelegte Distanz nach 300 Sekunden!
Tipp zur Berechnung:
$$s(300)= 3,9t \cdot 300^2 (+c \cdot t)$$ $$s(300)= 357300 m$$
- die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt!
Tipp zur Berechnung:
$$v(300)= 7,94 \cdot 300 (+c)$$ $$v(300)= 2382 m/s$$
2382 m/s \rightarrow 661,67 km/h
d) Nach 2000 km erreicht das Raumschiff den Mars. Ermitteln Sie nach wie vielen Sekunden das Raumschiff den Mars erreicht!
Tipp zur Berechnung:
$$2.000.000=3,97 \cdot t^2$$
$$t = 709,77 Sek.$$
709,77 Sek. \rightarrow 11,83 Min
Weitere Beispiele
http://www.gute-mathe-fragen.de/46837/aufgabe-integralrechnung-fahrzeug-sekunden-zuruckgelegt
http://www.brinkmann-du.de/physik/ph_aufgaben/phob_a02/phob_a02.htm
